Question

1．底面為菱形的直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為棱A₁B₁、A₁D₁的中點(diǎn)，
（1）在圖中作一個(gè)平面α，使得BD?α，且平面AEF∥α（不必給出證明過程，只要求做出α與直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的截面）
（2）若AB=AA₁=2，∠BAD=60°，求點(diǎn)C到所作截面α的距離．

Answer 1

分析 （1）取B₁C₁的中點(diǎn)G，D₁C₁的中點(diǎn)H，連結(jié)BG，GH，DH，則平面BDHG就是所求的平面α．
（2）取BC中點(diǎn)M，以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DM為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點(diǎn)C到所作截面α的距離．

解答 解：（1）取B₁C₁的中點(diǎn)G，D₁C₁的中點(diǎn)H，連結(jié)BG，GH，DH，
則平面BDHG就是所求的平面α，α與直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的截面即為平面BDHG．
（2）取BC中點(diǎn)M，∵AB=AA₁=2，∠BAD=60°，
∴以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DM為y軸，DD₁為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
C（-1，$\sqrt{3}$，0），D（0，0，0），B（1，$\sqrt{3}$，0），
G（0，$\sqrt{3}$，2），
$\overrightarrow{DB}$=（1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{DG}$=（0，$\sqrt{3}$，2），$\overrightarrow{DC}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），
設(shè)平面BDG的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=x+\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DG}=\sqrt{3}y+2z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（2$\sqrt{3}$，-2，$\sqrt{3}$），
∴點(diǎn)C到所作截面α的距離：
d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{19}}$=$\frac{2\sqrt{57}}{19}$．

點(diǎn)評 本題主要考查滿足條件的平面的作法，考查點(diǎn)到直線的距離的求法，考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識；考查學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力及運(yùn)算求解能力；考查了化歸與轉(zhuǎn)化及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．