Question

已知k為給定正整數(shù)，數(shù)列{a_n}滿足a₁=3，an+1=(3

2

2k-1

-1)Sn+3  (n∈Z+)，其中S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，令b_n=

1

n

log3(a1a2…an)  (n∈Z+)．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記T_k=

2k

i=1

|bi-

3

2

|，若T_k∈Z⁺，求k的所有可能值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得{a_n}是首項(xiàng)為3，公比為3

2

2k-1

的等比數(shù)列，由此能求出an=3

2n+2k-3

2k-1

（n∈Z⁺），b_n=

1

n

log3(a1a2…an)  (n∈Z+)=

1

n

log33(

2k-1

2k-1

+

2k+1

2k-1

+…+

2k+2n-3

2k-1

)=

1

n(2k-1)

[n(2k-3)+n(n+1)]，由此能求出bn=1+

n-1

2k-1

（n∈Z⁺）．
（2）由已知得bn-

3

2

=

n-(k+ 1 2 )

2k-1

，故Tk=

2k

i=1

|bi-

3

2

|=

k

i=1

(

3

2

-bi)+

2k

i=k+1

(bi-

3

2

)=

k2

2k-1

．由此能求出k的所有可能值只有1．

解答： 解：（1）∵a₁=3，an+1=(3

2

2k-1

-1)Sn+3  (n∈Z+)，
∴n≥2時(shí)，a_n=（3

2

2k-1

-1）S_n-1+3，
∴a_n+1-a_n=(3

2

2k-1

-1)an，
∴an+1=3

2

5-2k-1

a_n，
∴{a_n}是首項(xiàng)為3，公比為3

2

2k-1

的等比數(shù)列，
∴an=3

2n+2k-3

2k-1

（n∈Z⁺），
b_n=

1

n

log3(a1a2…an)  (n∈Z+)=

1

n

log33(

2k-1

2k-1

+

2k+1

2k-1

+…+

2k+2n-3

2k-1

)
=

1

n

(

2k-1

2k-1

+

2k+1

2k-1

+…+

2k+2n-3

2k-1

)
=

1

n(2k-1)

[n(2k-3)+n(n+1)]
=1+

n-1

2k-1

．
∴bn=1+

n-1

2k-1

（n∈Z⁺）．
（2）bn-

3

2

=

n-(k+ 1 2 )

2k-1

，
∴當(dāng)n≤k時(shí)，bn-

3

2

＜0，
當(dāng)n≥k+1時(shí)，bn-

3

2

＞0，
故Tk=

2k

i=1

|bi-

3

2

|=

k

i=1

(

3

2

-bi)+

2k

i=k+1

(bi-

3

2

)=

k2

2k-1

．
∵Tk∈Z+，設(shè)k²=t（2k-1）（t∈Z⁺），即k²-2tk+t=0有正整數(shù)解，
∴△=4t²-4t=s²（s∈Z⁺），
∴（2t-1-s）（2t-1+s）=1，
∴t=1，故k的所有可能值只有1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查滿足條件的k的所有可能值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．