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12.如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為 4的菱形,PD=PB=4,∠BAD=60°,E為PA中點.
(Ⅰ)求證:PC∥平面EBD;
(Ⅱ)求證:平面EBD⊥平面PAC;
(Ⅲ)若PA=PC,求三棱錐C-ABE的體積.

分析 (Ⅰ)設AC∩BD=O,連結EO,證明EO∥PC.即可證明PC∥平面EBD.
(Ⅱ)連結PO,證明PO⊥BD.AC⊥BD.即可證明BD⊥平面PAC.然后說明平面EBD⊥平面PAC.
(Ⅲ)利用VC-ABE=VE-ABC,求解即可.

解答 (本小題14分)
解(Ⅰ)設AC∩BD=O,連結EO,
∵E為PA中點,O為AC中點,
∴EO∥PC.
又∵EO?平面EBD,PC?平面EBD,
∴PC∥平面EBD.        …(5分)
(Ⅱ)連結PO,
∵PD=PB,O為BD中點,
∴PO⊥BD.
又∵底面ABCD為菱形,
∴AC⊥BD.
∵PO∩AC=O,
∴BD⊥平面PAC.
又∵BD?平面EBD,
∴平面EBD⊥平面PAC.…(10分)
(Ⅲ)VC-ABE=VE-ABC…(12分)
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AC×OB×\frac{PO}{2}$=$\frac{1}{6}×4\sqrt{3}×2×\sqrt{3}=4$. …(14分)

點評 本題考查直線與平面平行與垂直的判定定理以及性質定理的應用,幾何體的體積的求法,轉化思想的應用,考查空間想象能力以及計算能力.

練習冊系列答案
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