Question

（2012•重慶）甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球．約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球三次時(shí)投籃結(jié)束．設(shè)甲每次投籃投中的概率為

1

3

，乙每次投籃投中的概率為

1

2

，且各次投籃互不影響．
（Ⅰ）求乙獲勝的概率；
（Ⅱ）求投籃結(jié)束時(shí)乙只投了2個(gè)球的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分別求出乙第一次投球獲勝的概率、乙第二次投球獲勝的概率、乙第三次投球獲勝的概率，相加即得所求．
（Ⅱ）由于投籃結(jié)束時(shí)乙只投了2個(gè)球，說明第一次投球甲乙都沒有投中，第二次投球甲沒有投中、乙投中，或第三次投球甲投中了，把這兩種情況的概率相加，即得所求．

解答：解：（Ⅰ）∵乙第一次投球獲勝的概率等于

2

3

×

1

2

=

1

3

，乙第二次投球獲勝的概率等于(

2

3

)2•

1

2

•

1

2

=

1

9

，乙第三次投球獲勝的概率等于(

2

3

)3 (

1

2

)2

1

2

=

1

27

，
故 乙獲勝的概率等于

1

3

+

1

9

+

1

27

=

13

27

．
（Ⅱ）由于投籃結(jié)束時(shí)乙只投了2個(gè)球，說明第一次投球甲乙都沒有投中，第二次投球甲沒有投中、乙投中，或第三次投球甲投中了．
故投籃結(jié)束時(shí)乙只投了2個(gè)球的概率等于  (

2

3

)2×

1

2

×

1

2

+

1

2

×

1

2

×(

2

3

)2×

1

3

=

4

27

．

點(diǎn)評：本題主要考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．