橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
1
2
，且過點P（1，
3
2
）．
（l）求橢圓C的方程；
（2）若斜率為1的直線l 與橢圓C交于A，B兩點，O為坐標原點，且△OAB的面積為
6
2
7
，求l的方程．
分析：（1）利用橢圓的離心率e=
1
2
，且過點P（1，
3
2
），建立方程，求得幾何量，由此可得橢圓的方程；
（2）設(shè)出l的方程代入橢圓方程，利用韋達定理，求得|AB|，求出O到直線l的距離，利用△OAB的面積為
6
2
7
，即可求l的方程．
解答：解：（1）由題意有：
c
a
=
1
2
1
a2
+
9
4
b2
=1
a2=b2+c2
，可求得：a=2，b=
3
，
所以，橢圓C的方程：
x2
4
+
y2
3
=1
（2）設(shè)直線l：y=x+n，由
y=x+n
x2
4
+
y2
3
=1
，消去y可得：7x2+8nx+4n2-12=0　�、�
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=-
8n
7
，x1x2=
4n2-12
7
，
所以|AB|=
1+1
×
(-
8n
7
)2-4×
4n2-12
7
=
4
6
7
×
7-n2

又O到直線l的距離為d=
|n|
2

所以S△OAB=
1
2
×
2
|n|
2
×
4
6
7
7-n2
=
6
2
7
，
解得n=±1或n=±
6
，代入①式，△＞0，
所以直線l為：y=x±1或y=x±
6
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，考查三角形面積的計算，考查學(xué)生的計算能力，正確運用韋達定理是關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

一條斜率為1的直線l與離心率e=
2
2
的橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）交于P、Q兩點，直線l與y軸交于點R，且
.
OP
•
.
OQ
=-3，
.
PR
=3
.
RQ
，求直線l和橢圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

直角坐標系xoy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別是A1，A2，上、下頂點為B2，B1，點P（
3
5
a，m）（m＞0）是橢圓C上一點，PO⊥A2B2，直線PO分別交A1B1、A2B2于點M、N．
（1）求橢圓離心率；
（2）若MN=
4
21
7
，求橢圓C的方程；
（3）在（2）的條件下，設(shè)R點是橢圓C上位于第一象限內(nèi)的點，F(xiàn)1、F2是橢圓C的左、右焦點，RQ平分∠F1RF2且與y軸交于點Q，求點Q縱坐標的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的離心率為
3
2
，過橢圓C上一點P（2，1）作傾斜角互補的兩條直線，分別與橢圓交于點A、B，直線AB與x軸交于點M，與y軸負半軸交于點N．
（Ⅰ）求橢圓C的方程：
（Ⅱ）若S△PMN=
3
2
，求直線AB的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
2
2
，左焦點為F1（-1，0），右焦點為F2（1，0），短軸兩個端點為A、B．與x軸不垂直的直線l與橢圓C交于不同的兩點M、N，記直線AM、AN的斜率分別為k1、k2，且k1k2=
3
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求證直線l與y軸相交于定點，并求出定點坐標．
（3）當(dāng)弦MN的中點P落在△MF1F2內(nèi)（包括邊界）時，求直線l的斜率的取值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右頂點的坐標分別為A（-2，0），B（2，0），離心率e=
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程：
（Ⅱ）設(shè)橢圓的兩焦點分別為F1，F(xiàn)2，若直線l：y=k（x-1）（k≠0）與橢圓交于M、N兩點，證明直線AM與直線BN的交點在直線x=4上．

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同步練習(xí)冊答案