已知函數(shù)f（x）對任意的m，n∈R，都有f（m+n）=f（m）+f（n），并且x＞0時恒有f（x）＞0
（1）求證：f（x）在R上是增函數(shù)
（2）若f（k•3x）+f（3x-9x-2）＜0對?x∈R恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．
分析：（1）任取x1，x2，且x1＜x2，由f（x2）-f（x1）=f（x2-x1）及x＞0時恒有f（x）＞0可得f（x2）與f（x1）的大小關(guān)系，由函數(shù)單調(diào)性即可證明；
（2）f（k•3x）+f（3x-9x-2）＜0⇒f[（k•3x）+（3x-9x-2）]＜f（0），利用函數(shù)單調(diào)性可化為（k+1）•3x-9x-2＜0恒成立，分離出參數(shù)k后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值即可．
解答：解：（1）任取x1，x2，且x1＜x2，
由f（m+n）=f（m）+f（n），得f（m+n）-f（n）=f（m），
所以f（x2）-f（x1）=f（x2-x1），
又x＞0時恒有f（x）＞0，且x2-x1＞0，
所以f（x2-x1）＞0，即f（x2）-f（x1）＞0，所以f（x2）＞f（x1），
故f（x）在R上為增函數(shù)；
（2）令m=n=0，則由f（m+n）=f（m）+f（n），得f（0）=f（0）+f（0），所以f（0）=0，
f（k•3x）+f（3x-9x-2）＜0⇒f[（k•3x）+（3x-9x-2）]＜f（0），
由（1）知f（x）為增函數(shù)，所以（k•3x）+（3x-9x-2）＜0，即（k+1）•3x-9x-2＜0，也即（k+1）＜3x+
2
3x
，
所以f（k•3x）+f（3x-9x-2）＜0對?x∈R恒成立，等價于（k+1）＜3x+
2
3x
恒成立，
又3x+
2
3x
≥2
3x•
2
3x
=2
2
，當(dāng)且僅當(dāng)3x=
2
3x
，即x=log3
2
時取得等號，
所以k+1＜2
2
，即k＜2
2
-1，
故實數(shù)k的取值范圍為：k＜2
2
-1．
點評：本題考查函數(shù)恒成立問題，考查抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷，考查學(xué)生對問題的轉(zhuǎn)化能力，恒成立問題經(jīng)常轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題解決．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ex，直線l的方程為y=kx+b．
（1）求過函數(shù)圖象上的任一點P（t，f（t））的切線方程；
（2）若直線l是曲線y=f（x）的切線，求證：f（x）≥kx+b對任意x∈R成立；
（3）若f（x）≥kx+b對任意x∈[0，+∞）成立，求實數(shù)k、b應(yīng)滿足的條件．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若實數(shù)x、y、m滿足|x-m|＞|y-m|，則稱x比y遠(yuǎn)離m．
（1）若x2-1比1遠(yuǎn)離0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個不相等的正數(shù)a、b，證明：a3+b3比a2b+ab2遠(yuǎn)離2ab
ab
；
（3）已知函數(shù)f（x）的定義域D={{x|x≠
kπ
2
+
π
4
，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx中遠(yuǎn)離0的那個值．寫出函數(shù)f（x）的解析式，并指出它的基本性質(zhì)（結(jié)論不要求證明）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若實數(shù)x、y、m滿足|x-m|＜|y-m|，則稱x比y接近m．
（1）若x2-1比3接近0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個不相等的正數(shù)a、b，證明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab
；
（3）已知函數(shù)f（x）的定義域D{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1-sinx中接近0的那個值．寫出函數(shù)f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調(diào)性（結(jié)論不要求證明）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
ex
ex+1
．
（Ⅰ）證明函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點（0，
1
2
）對稱；
（Ⅱ）設(shè)y=f-1(x)為y=f(x)的反函數(shù)，令g(x)=f-1(
x+1
x+2
)，是否存在實數(shù)b，使得任給a∈[
1
4
，
1
3
]，對任意x∈(0，+∞)．不等式g(x)＞x-ax2+b恒成立？若存在，求b的取值范圍；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•海淀區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=
1，x∈Q
0，x∈CRQ
，則f（f（x））=
1
1

下面三個命題中，所有真命題的序號是
①②③
①②③
．
①函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
②任取一個不為零的有理數(shù)T，f（x+T）=f（x）對x∈R恒成立；
③存在三個點A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC為等邊三角形．

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同步練習(xí)冊答案