Question

12．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)為$（-\sqrt{3}，0）$，且實(shí)軸長(zhǎng)為2．
（1）求雙曲線C的方程；  
（2）求直線$y=x-\sqrt{3}$被雙曲線C截得的弦長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)$c=\sqrt{3}$、2a=2，利用a、b、c直接的關(guān)系可知a²=1、b²=2，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）通過(guò)聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用韋達(dá)定理及兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵$c=\sqrt{3}$，2a=2，
∴a=1，c²=3，a²=1，
∴b²=a²-c²=2，
故雙曲線方程為${x^2}-\frac{y^2}{2}=1$；
（2）設(shè)直線與雙曲線的交點(diǎn)為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}y=x-\sqrt{3}\\{x^2}-\frac{y^2}{2}=1\end{array}\right.$，得${x^2}+2\sqrt{3}x-5=0$，
由韋達(dá)定理得$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=-2\sqrt{3}\\{x_1}{x_2}=-5\end{array}\right.$，
故$|AB|=\sqrt{1+1}•\sqrt{{{（-2\sqrt{3}）}^2}-4×（-5）}=8$．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，涉及韋達(dá)定理、兩點(diǎn)間距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．