Question

已知f(x)=

xn-x-n

xn+x-n

，n∈N^*，試比較f(

2)

與

n2-1

n2+1

的大小，并且說明理由．

Answer 1

分析：根據f(x)=

xn-x-n

xn+x-n

，我們易求出f(

2)

=1-

2

2n+1

，而

n2-1

n2+1

=1-

2

n2+1

，故可將比較f(

2)

與

n2-1

n2+1

的大小，轉化為比較2ⁿ與n²的大�。�利用數(shù)學歸納法易證明結論．

解答：解：f(

2

)=

( 2 )n-( 2 )-n

( 2 )n+( 2 )-n

=

2n-1

2n+1

=1-

2

2n+1

，
而

n2-1

n2+1

=1-

2

n2+1

，
∴f(

2

)與

n2-1

n2+1

的大小等價于2ⁿ與n²的大�。�
當n=1時，2¹＞1²；當n=2時，2²=2²；
當n=3時，2³＜3²；當n=4時，2⁴=4²；
當n=5時，2⁵＞5²．
猜想當n≥5時，2ⁿ＞n²．
以下用數(shù)學歸納法證明：
①當n=5時，由上可知不等式成立；
②假設n=k（k≥5）時，不等式成立，即2^k＞k²，則
當n=k+1時，2^k+1=2•2^k＞2k²，
又∵2k²-（k+1）²=（k-1）²-2＞0（∵k≥5），即2^k+1＞（k+1）²，
∴n=k+1時，不等式成立．
綜合①②對n≥5，n∈N^*不等式2ⁿ＞n²成立．
∴當n=1或n≥5時，f(

2

)＞

n2-1

n2+1

；
當n=3時，f(

2

)＜

n2-1

n2+1

；
當n=2或4時，f(

2

)=

n2-1

n2+1

．

點評：本題考查的知識點是數(shù)學歸納法及數(shù)的大小比較，數(shù)學歸納法常常用來證明一個與自然數(shù)集N相關的性質，其步驟為：設P（n）是關于自然數(shù)n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數(shù)n都成立．