Question

已知橢圓C₁:,拋物線C₂:,

且C₁、C₂的公共弦AB過橢圓C₁的右焦點.

(Ⅰ)當(dāng)AB⊥軸時,求的值，并判斷拋物線C₂的焦點是否在直線AB上；

(Ⅱ)是否存在的值，使拋物線C₂的焦點恰在直線AB上？若存在，

求出符合條件的的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)AB⊥x軸時，點A、B關(guān)于x軸對稱，所以m＝0，直線AB的方程為：

    　　  x =1，從而點A的坐標(biāo)為（1，）或（1，－）.  因為點A在拋物線上.

所以，即.此時C₂的焦點坐標(biāo)為（，0），該焦點不在直線AB上.

（II）解法一： 假設(shè)存在m、p的值使C₂的焦點恰在直線AB上，由（I）知直線AB

的斜率存在，故可設(shè)直線AB的方程為．

由消去y得………………①

設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁,y₁）, （x₂,y₂）,  

則x₁,x₂是方程①的兩根，x₁＋x₂＝.

　　由　

消去y得.          ………………②

因為C₂的焦點在直線上，

所以，即.代入②有.

即.                      　　  …………………③

由于x₁,x₂也是方程③的兩根，所以x₁＋x₂＝.

從而. 解得　　　……………………④

又AB過C₁、C₂的焦點，所以

，

則    …………………………………⑤

由④、⑤式得，即．

解得于是

因為C₂的焦點在直線上，所以.

．

由上知，滿足條件的、存在，且，．

解法二：設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁,y₁）, （x₂,y₂）．

　　　　因為AB既過C₁的右焦點，又過C₂的焦點，

所以.

即.         　 ……①

由（Ⅰ）知，于是直線AB的斜率， ……②

且直線AB的方程是,

所以.        ……③

又因為，所以.    ……④

將①、②、③代入④得．　　……………⑤

　　因為，所以．　　…………⑥

將②、③代入⑥得　　……………⑦

由⑤、⑦得即

解得或（舍去）．將代入⑤得

由上知，滿足條件的、存在，且，．