Question

已知函數，
（Ⅰ）求證：函數f（x）是偶函數；
（Ⅱ）判斷函數f（x）分別在區(qū)間（0，2]，[2，+∞）上的單調性，并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（I）分兩段分別證明f（x）=f（-x）即可證明函數為偶函數；
（II）設x₂＞x₁＞0，利用作差法討論f（x₂）-f（x₁）的大小，即可證明函數在區(qū)間（0，2]，[2，+∞）上的單調性，也可利用導數證明函數的單調性：先求函數的導函數f′（x），再在某區(qū)間內證明導函數值的正負，即可證明函數的單調性
解答：解：（Ⅰ）由題可知函數定義域關于原點對稱．
當x＞0時，-x＜0，
則，
∴f（x）=f（-x）．
當x＜0時，-x＞0，
則，
∴f（x）=f（-x）．
綜上所述，對于x≠0，都有f（x）=f（-x），∴函數f（x）是偶函數．
（Ⅱ）當x＞0時，，
設x₂＞x₁＞0，則
當x₂＞x₁≥2時，f（x₂）-f（x₁）＞0；當2≥x₂＞x₁＞0時，f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴函數f（x）在（0，2]上是減函數，函數f（x）在[2，+∞）上是增函數．
（另證：當；
∵

∴函數f（x）在（0，2]上是減函數，在[2，+∞）上是增函數．
點評：本題考查了分段函數奇偶性和單調性的判斷方法，利用函數單調性的定義證明函數在區(qū)間上的單調性的方法，作差法比較大小的變形技巧，導數在函數單調性中的應用