Question

正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且2

Sn

=an+1．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)bn=

1

an•an+1

，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，求證：Tn＜

1

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)2

S1

=a1+1求得a₁，進(jìn)而根據(jù)4S_n=（a_n+1）²和4S_n-1=（a_n-1+1）²（n≥2）兩式相減整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，進(jìn)而可得a_n-a_n-1=2判斷出數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．求得其通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）把（1）中求得的a_n代入bn=

1

an•an+1

中，即可求得b_n，進(jìn)而可用裂項(xiàng)法進(jìn)行求和，得T_n=

1

2

(1-

1

2n+1

)根據(jù)

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

使原式得證．

解答：解：（Ⅰ）∵2

S1

=a1+1，
∴a₁=1．
∵a_n＞0，2

Sn

=an+1，
∴4S_n=（a_n+1）²．①
∴4S_n-1=（a_n-1+1）²（n≥2）．②
①-②，得4a_n=a_n²+2a_n-a_n-1²-2a_n-1，
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
而a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=2（n≥2）．
故數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．
∴a_n=2n-1．
（Ⅱ）bn=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)．
T_n=b₁+b₂++b_n=

1

2

(1-

1

3

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)++

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的求和問(wèn)題．?dāng)?shù)列的求和問(wèn)題是高考中常考的題目，所以我們平時(shí)的時(shí)候應(yīng)注意多積累數(shù)列求和的方法．