Question

已知f（x）=2x+a，g（x）=（x²+3），
（1）若g[f（x）]=x²+x+1，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若關(guān)于x的方程f[g（x）]+f（x）=0的兩個(gè)根m，n滿足m＜1＜n，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)函數(shù)g（x）的解析式化簡(jiǎn)：g[f（x）]，再利用條件：g[f（x）]=x²+x+1，比較兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，建立關(guān)于a的方程，即可求出a 值．
（2）先化簡(jiǎn)f[g（x）]+f（x），得出關(guān)于x的方程f[g（x）]+f（x）=0的兩個(gè)根m，n滿足m＜1＜n．也就是關(guān)于x的方程x²+4x+4a+3=0的兩個(gè)根m，n滿足m＜1＜n，設(shè)h（x）=x²+4x+4a+3，由二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（1）∵g[f（x）]=g（2x+a）=[（2x+a）²+3]=
g[f（x）]=x²+x+1，x∈R
∴=x²+x+1，x∈R．（4分）
比較兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，有
∴a=1．（6分）
（2）因?yàn)閒[g（x）]+f（x）=2•g（x）+a+2x+a=（x²+4x+4a+3）．（8分）
所以關(guān)于x的方程f[g（x）]+f（x）=0的兩個(gè)根m，n滿足m＜1＜n．
也就是關(guān)于x的方程x²+4x+4a+3=0的兩個(gè)根m，n滿足m＜1＜n．（9分）
設(shè)h（x）=x²+4x+4a+3，由二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知h（1）＜0
即4a+8＜0．（11分）
∴a＜-2．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．