Question

數(shù)列{a_n}中，a_n=|n-k|+|n+2k|，若對(duì)任意的正整數(shù)n，a_n≥a₃=a₄都成立，則k的取值范圍為    ．

Answer 1

【答案】分析：由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可知：a_n=|n-k|+|n+2k|=|n-k|+|-2k-n|≥|n-k-2k-n|=|3k|，當(dāng)且僅當(dāng)（n-k）（-2k-n）≥0時(shí)，a_n取得最小值，再根據(jù)a_n≥a₃=a₄恒成立，故a₃=a₄為最小值，從而可求k的取值范圍．
解答：解：a_n=|n-k|+|n+2k|=|n-k|+|-2k-n|≥|n-k-2k-n|=|3k|，
當(dāng)且僅當(dāng)（n-k）（-2k-n）≥0時(shí)，即當(dāng)且僅當(dāng)
k＞0時(shí)，-2k≤n≤k時(shí)，a_n取得最小值，又因?yàn)閍_n≥a₃=a₄恒成立，故a₃=a₄為最小值，即-2k≤3≤k，且-2k≤4≤k，解得k≥4；
k＜0時(shí)，k≤n≤-2k時(shí)，a_n取得最小值，又因?yàn)閍_n≥a₃=a₄恒成立，故a₃=a₄為最小值，即k≤3≤-2k，且k≤4≤-2k，解得k≤-2；
故答案為k≤-2或k≥4．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，考查絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．