Question

.（1）設(shè)向量

a

，

b

滿足|

a

|=|

b

|=1及|3

a

-2

b

|=

7

，求|3

a

+

b

|的值．
（2）在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=1，

1

an+1

=

1

an

+

1

2

，（n∈N⁺），求a₅₀．．

Answer 1

分析：（1）由題意可得 9

a

2-12

a

•b

+4

b

2=7，得到 

a

•b

=

1

2

．由|3

a

+

b

|=

(3 a + b )2

=

9 a 2+6  a • b + b 2

 求出結(jié)果．
 （2）由條件可得 {

1

an

}是以1為首項(xiàng)，以

1

2

為公差的等差數(shù)列，求出 

1

an

 的通項(xiàng)公式，可得 a_n 的通項(xiàng)公式，從而得到 a₅₀ 的值．

解答：解：（1）由題意可得 9

a

2-12

a

•b

+4

b

2=9-12

a

•b

+4=7，∴

a

•b

=

1

2

．
|3

a

+

b

|=

(3 a + b )2

=

9 a 2+6  a • b + b 2

=

13

．
（2）∵a₁=1，

1

an+1

=

1

an

+

1

2

，∴{

1

an

}是以1為首項(xiàng)，以

1

2

為公差的等差數(shù)列，
∴

1

an

=1+（n-1）

1

2

=

n+1

2

，∴a_n=

2

n+1

，∴a₅₀ =

2

51

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得到{

1

an

}是以1為首項(xiàng)，以

1

2

為公差的等差數(shù)列，是解題的難點(diǎn)．