【題目】已知,
,
.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)記,設(shè)
,
為函數(shù)
圖象上的兩點(diǎn),且
.
(i)當(dāng)時(shí),若
在
,
處的切線相互垂直,求證:
;
(ii)若在點(diǎn),
處的切線重合,求
的取值范圍.
【答案】(1)見(jiàn)解析(2)
【解析】試題分析:(1)先求函數(shù)導(dǎo)數(shù),轉(zhuǎn)化為研究導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn),即方程=0的根的情況,當(dāng)
,導(dǎo)函數(shù)不變號(hào),在
上單調(diào)遞減,當(dāng)
時(shí),有兩個(gè)不等根,列表分析導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化規(guī)律,確定對(duì)應(yīng)單調(diào)區(qū)間,(2)(i)利用導(dǎo)數(shù)幾何意義化簡(jiǎn)條件:
在
,
處的切線相互垂直,得
,利用基本不等式證明不等式,(ii)先分別求出切線方程,再根據(jù)切線重合得
,消元
得
,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)
,
單調(diào)性,確定函數(shù)
值域,進(jìn)而確定
的取值范圍.
試題解析:解:(1),則
,
當(dāng)即
時(shí),
,
在
上單調(diào)遞減,
當(dāng)時(shí)即
時(shí),
,
此時(shí)在
和
上都是單調(diào)遞減的,在
上是單調(diào)遞增的;
(2)(i),據(jù)題意有
,又
,
則且
,
,
法1: ,
當(dāng)且僅當(dāng)即
,
時(shí)取等號(hào).
法2: ,
,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
(ii)要在點(diǎn)處的切線重合,首先需要在點(diǎn)
處的切線的斜率相等,
而時(shí),
,則必有
,即
,
,
處的切線方程是:
處的切線方程是:
,
即,
據(jù)題意則,
,
設(shè),
,
,
設(shè),
在
上恒成立,
則在
上單調(diào)遞增
,
則,
在
上單調(diào)遞增,
則,再設(shè)
,
,
,
在
上單調(diào)遞增,
,
則在
恒成立,
即當(dāng)時(shí),
的值域是
,
故,即為所求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,隔河看兩目標(biāo)A、B,但不能到達(dá),在岸邊選取相距 km的C、D兩點(diǎn),并測(cè)得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°(A、B、C、D在同一平面內(nèi)),求兩目標(biāo)A、B之間的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖, 為圓
的直徑,點(diǎn)
,
在圓
上,
,矩形
和圓
所在的平面互相垂直,已知
,
.
(Ⅰ)求證:平面平面
;
(Ⅱ)求直線與平面
所成角的大小;
(Ⅲ)當(dāng)的長(zhǎng)為何值時(shí),二面角
的大小為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=2BC=4,E為邊AB的中點(diǎn),將△ADE沿直線DE翻轉(zhuǎn)成△A1DE.若M為線段A1C的中點(diǎn),則在△ADE翻轉(zhuǎn)過(guò)程中: ①|(zhì)BM|是定值;
②點(diǎn)M在圓上運(yùn)動(dòng);
③一定存在某個(gè)位置,使DE⊥A1C;
④一定存在某個(gè)位置,使MB∥平面A1DE.
其中正確的命題是( )
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x﹣2.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)當(dāng)x∈[ ,
]時(shí),求函數(shù)f(x)的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)集合A={1,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7,8},則滿足SA且S∩B≠的集合S的個(gè)數(shù)是( )
A.57
B.56
C.49
D.8
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,以為頂點(diǎn)的六面體中,
和
均為等邊三角形,且平面
平面
,
平面
,
,
.
(1)求證: 平面
;
(2)求此六面體的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)y=f(x+1)的定義域是[﹣1,3],則y=f(x2)的定義域是( )
A.[0,4]
B.[0,16]
C.[﹣2,2]
D.[1,4]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),且P(μ﹣2σ<X≤μ+2σ)=0.9544,P(μ﹣σ<X≤μ+σ)=0.6826,若μ=4,σ=1,則P(5<X<6)=( )
A.0.1358
B.0.1359
C.0.2716
D.0.2718
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