Question

已知函數(shù)f（x）=2^ax+b在[1，2]上的最小值為1，最大值為2，求f（x）的解析式．

Answer 1

解：當(dāng)a＞0時，可證f（x）=2^ax+b為[1，2]的單調(diào)增函數(shù)（2分）
∴x=1，函數(shù)f（x）=2^ax+b取最小值為1，有2^a+b=1（3分）
x=2，函數(shù)f（x）=2^ax+b取最大值為2，有2=2^2a+b（4分）
可得a=1，b=-1 （6分）
∴f（x）=2^x-1（7分）
當(dāng)a＜0時，可證f（x）=2^ax+b為[1，2]的單調(diào)減函數(shù)（9分）
∴x=1，函數(shù)f（x）=2^ax+b取最大值為2，有∴2^a+b=2（10分）
x=2，函數(shù)f（x）=2^ax+b取最小值為1，有1=2^2a+b（11分）
可得a=-1，b=2 （13分）
∴f（x）=2^-x+2（14分）
∴f（x）的解析式為f（x）=2^x-1或 f（x）=2^-x+2（16分）
分析：當(dāng)a＞0時，可證f（x）=2^ax+b為[1，2]的單調(diào)增函數(shù)，x=1，函數(shù)有最小值，x=2，函數(shù)有最大值；
當(dāng)a＜0時，可證f（x）=2^ax+b為[1，2]的單調(diào)減函數(shù)，x=1，函數(shù)有最大值，x=2，函數(shù)有最小值．
點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，以及利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值問題，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．