已知函數(shù)f(x)=2ax+b在[1,2]上的最小值為1,最大值為2,求f(x)的解析式.
解:當(dāng)a>0時,可證f(x)=2ax+b為[1,2]的單調(diào)增函數(shù)(2分)
∴x=1,函數(shù)f(x)=2ax+b取最小值為1,有2a+b=1(3分)
x=2,函數(shù)f(x)=2ax+b取最大值為2,有2=22a+b(4分)
可得a=1,b=-1 (6分)
∴f(x)=2x-1(7分)
當(dāng)a<0時,可證f(x)=2ax+b為[1,2]的單調(diào)減函數(shù)(9分)
∴x=1,函數(shù)f(x)=2ax+b取最大值為2,有∴2a+b=2(10分)
x=2,函數(shù)f(x)=2ax+b取最小值為1,有1=22a+b(11分)
可得a=-1,b=2 (13分)
∴f(x)=2-x+2(14分)
∴f(x)的解析式為f(x)=2x-1或 f(x)=2-x+2(16分)
分析:當(dāng)a>0時,可證f(x)=2ax+b為[1,2]的單調(diào)增函數(shù),x=1,函數(shù)有最小值,x=2,函數(shù)有最大值;
當(dāng)a<0時,可證f(x)=2ax+b為[1,2]的單調(diào)減函數(shù),x=1,函數(shù)有最大值,x=2,函數(shù)有最小值.
點評:本題考查函數(shù)的單調(diào)性,以及利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值問題,用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式.