Question

已知數列{a_n}滿足：an=

a n 2 + 1 4 ，n為偶數 2a n+1 2 -a+ 1 2 ，n為奇數

（n∈N^*，a∈R，a為常數），
數列{b_n}中，bn=a22n-1．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）證明：數列{b_n}為等差數列；
（3）求證：數列{b_n}中存在三項構成等比數列時，a為有理數．

Answer 1

分析：（1）由已知a1=2a1-a+

1

2

，得a1=a-

1

2

，a2=a1+

1

4

=a-

1

4

，a3=2a2-a+

1

2

=a．
（2）bn=a22n-1=2a22n-1-a+

1

2

，由此能推導出b_n+1-b_n=1，又b₁=a₃=a，所以數列{b_n}是等差數列．
（3）由b_n=a+n-1，知若三個不同的項a+i，a+j，a+k成等比數列，i、j、k為非負整數，且i＜j＜k，則（a+i）²=（a+j）
（a+k），得a（i+k-2j）=j²-ik，由此討論知a是有理數．

解答：解：（1）由已知a1=2a1-a+

1

2

，得a1=a-

1

2

，a2=a1+

1

4

=a-

1

4

，a3=2a2-a+

1

2

=a．（4分）
（2）bn=a22n-1=2a22n-1-a+

1

2

，bn+1=a22n+2-1=2a22n+1-a+

1

2

=2(a22n+

1

4

)-a+

1

2

=2a22n-a+1=2(a22n-1+

1

4

)-a+1=2a22n-1-a+

3

2

∴b_n+1-b_n=1，又b₁=a₃=a，
∴數列{b_n}是首項為a，公差為1的等差數列．（9分）

（3）證明：由（2）知b_n=a+n-1，（10分）
若三個不同的項a+i，a+j，a+k成等比數列，
i、j、k為非負整數，且i＜j＜k，則（a+j）²=（a+i）（a+k），
得a（i+k-2j）=j²-ik，（12分）
若i+k-2j=0，則j²-ik=0，得i=j=k，這與i＜j＜k矛盾．（14分）
若i+k-2j≠0，則a=

j2-ik

i+k-2j

，
∵i、j、k為非負整數，
∴a是有理數．（16分）

點評：本題考查數列的性質和綜合應用，解題時要認真審題，注意公式的合理運用．