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(理)已知函數f(x)在R上有定義，對任意實數a＞0和任意實數x，都有f(ax)＝af(x)．

(1)證明：f(0)＝0；

(2)證明：f(x)＝其中k和h均為常數；

(3)當(2)中的k＞0時，設g(x)＝＋f(x)(x＞0)，討論g(x)在(0，＋∞)內的單調性并求極值．

答案：
解析：

　　(理)分析：本小題主要考查函數的概念、導數的應用、函數的單調區(qū)間和極值等知識，考查運用數學知識解決問題及推理的能力．

　　(1)解：對于任意的a＞0，x∈R，均有f(ax)＝af(x)　　①

　　在①中取a＝2，x＝0，即得f(0)＝2f(0)．

　　∴f(0)＝0　�、�

　　(2)解：當x＞0時，由①得f(x)＝f(x·1)＝xf(1)．

　　取k＝f(1)，則有f(x)＝kx　�、�

　　當x＜0時，由①得f(x)＝f[(－x)·(－1)]＝(－x)f(－1)．

　　取h＝－f(－1)，則有f(x)＝hx　　④

　　綜合②③④得

　　(3)解法一：由(2)中的③知，當x＞0時，g(x)＝，從而(x)＝，x＞0．

　　又因為k＞0，由此可得

　　所以g(x)在區(qū)間(0，)內單調遞減，在區(qū)間(，＋∞)內單調遞增，在x＝處取得極小值2．

　　解法二：由(2)中的③知，當x＞0時，g(x)＝．

　　設x1、x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，則

　　g(x2)－g(x1)＝＋kx2－(＋kx1)

　�。�·＋k(x2－x1)

　�。�(k2x1x2－1)．

　　又因為k＞0，所以

　　(ⅰ)當0＜x1＜x2＜時，g(x2)＜g(x1)；

　　(ⅱ)當0＜＜x1＜x2時，g(x2)＞g(x1)．

　　所以g(x)在區(qū)間(0，)內單調遞減，在區(qū)間(，＋∞)內單調遞增，在x＝處取得極小值2．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網精英家教網（理）已知函數f(x)=
ln(2-x2)
|x+2|-2
．
（1）試判斷f（x）的奇偶性并給予證明；
（2）求證：f（x）在區(qū)間（0，1）單調遞減；
（3）如圖給出的是與函數f（x）相關的一個程序框圖，試構造一個公差不為零的等差數列
{an}，使得該程序能正常運行且輸出的結果恰好為0．請說明你的理由．
（文）如圖，在平面直角坐標系中，方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0的圓M的內接四邊形ABCD的對角線AC和BD互相垂直，且AC和BD分別在x軸和y軸上．
（1）求證：F＜0；
（2）若四邊形ABCD的面積為8，對角線AC的長為2，且
AB
•
AD
=0，求D2+E2-4F的值；
（3）設四邊形ABCD的一條邊CD的中點為G，OH⊥AB且垂足為H．試用平面解析幾何的研究方法判
斷點O、G、H是否共線，并說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（理）已知函數f(x)=
sin2x-(a-4)(sinx-cosx)+a
的定義域為{x|2kπ≤x≤2kπ+
π
2
，k∈Z}，則實數a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•普陀區(qū)三模）（理）已知函數f(x)=
sinπxx∈[0，1]
log2011xx∈(1，+∞)
若滿足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），則a+b+c的取值范圍是
（2，2012）
（2，2012）
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•普陀區(qū)三模）（理）已知函數f(x)=
ln(2-x2)|x+2|-2
．
（1）試判斷f（x）的奇偶性并給予證明；
（2）求證：f（x）在區(qū)間（0，1）單調遞減；
（3）右圖給出的是與函數f（x）相關的一個程序框圖，試構造一個公差不為零的等差數列{an}，使得該程序能正常運行且輸出的結果恰好為0．請說明你的理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2009•嘉定區(qū)一模）（理）已知函數f(x)=log2
2
x
1-x
，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是f（x）圖象上兩點．
（1）若x1+x2=1，求證：y1+y2為定值；
（2）設Tn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*且n≥2，求Tn關于n的解析式；
（3）對（2）中的Tn，設數列{an}滿足a1=2，當n≥2時，an=4Tn+2，問是否存在角a，使不等式(1-
1
a1
)(1-
1
a2
)…(1-
1
an
)＜
sinα
2n+1
對一切n∈N*都成立？若存在，求出角α的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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