Question

已知向量

OA

=(λcosα，λsinα)（λ≠0），

OB

=(-sinβ，cosβ)，其中O為坐標原點．
（Ⅰ）若α-β=

π

6

且λ=1，求向量

OA

與

OB

的夾角；
（Ⅱ）若不等式|

AB

|≥2|

OB

|對任意實數(shù)α，β都成立，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）λ=1時，利用向量模的坐標公式求出向量

OA

、

OB

的長度，從而得到

OA

•

OB

=cosθ，然后利用向量數(shù)理積的坐標公式，得到

OA

•

OB

=sin（β-α）=

1

2

，最后解關(guān)于夾角θ的方程，可得向量

OA

與

OB

的夾角；
（Ⅱ）代入（1）的運算結(jié)果，將不等式|

AB

|≥2|

OB

|整理為：λ²-2λsin（β-α）+1≥4對任意實數(shù)α、β都成立，再結(jié)合正弦函數(shù)的有界性，建立關(guān)于λ的不等式組，解之可得滿足條件的實數(shù)λ的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當λ=1時，

OA

=（cosα，sinα），

OB

=（-sinβ，cosβ）
∴|

OA

|=1，|

OB

|=1
設(shè)向量

OA

與

OB

的夾角為θ，得

OA

•

OB

=|

OA

||

OB

|cosθ=cosθ
又∵

OA

•

OB

=cosα（-sinβ）+（sinα）cosβ=sin（α-β）=sin

π

6

=

1

2

∴cosθ=

1

2

∵θ∈[0，π]
∴θ=

π

3

（Ⅱ）|

AB

|²=|

OB

-

OA

|²=|

OA

|²-2

OA

•

OB

+|

OB

|²=λ²-2λsin（α-β）+1
不等式|

AB

|≥2|

OB

|可化為：λ²-2λsin（α-β）+1≥4，
即λ²-2λsin（α-β）-3≥0對任意實數(shù)α、β都成立
∵-1≤sin（α-β）≤1
∴

λ2-2λ-3≥0 λ2+2λ-3≥0

解得：λ≤-3或λ≥3
∴實數(shù)λ的取值范圍是（-∞，-3]∪[3，+∞）

點評：本題綜合了平面向量的數(shù)量積、和與差的三角函數(shù)以及不等式恒成立等知識點，屬于難題．解題時應(yīng)該注意等價轉(zhuǎn)化和函數(shù)方程思想的運用．