Question

已知橢圓的左焦點(diǎn)為F₁（-1，0），點(diǎn)F₁關(guān)于直線16x+12y-9=0對稱點(diǎn)在橢圓上．
（I）求橢圓方程；
（II）點(diǎn)M（x，y）在圓x²+y²=b²上，M在第一象限，過M作圓x²+y²=b²的切線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，問|F₂P|+|F₂Q|+|PQ|是否為定值？如果是，求出定值，如不是，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中橢圓的左焦點(diǎn)為F₁（-1，0），可得c值，點(diǎn)F₁關(guān)于直線16x+12y-9=0對稱點(diǎn)在橢圓上可得a值，進(jìn)而求出b值后，可得橢圓方程；
（II）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），分別求出|F₂P|，|F₂Q|，結(jié)合相切的條件可得|PM|²=|OP|²-|OM|²求出|PQ|，可得結(jié)論．
解答：解：（I）∵右焦點(diǎn)為F₂（1，0）∴c=1
左焦點(diǎn)為F₁（-1，0），點(diǎn)
在橢圓上
∴a=2，
所以橢圓方程為-------------------------------------（4分）
（II）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）


∴--------------------------------------------------------．（7分）
連接OM，OP，由相切條件知：

∴---------------------------------------------------．（10分）
同理可求

所以|F₂P|+|F₂Q|+|PQ|=2+2=4為定值．-------------------------------------------（12分）
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓的位置關(guān)系，直線與橢圓的位置關(guān)系，熟練掌握橢圓的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．