Question

給出以下命題：
（1）函數(shù)y=sinx+sin|x|的值域是[0，2]；
（2）若函數(shù)y=2cos（ax-

π

3

）的最小正周期是4π，則a=

1

2

；
（3）若銳角α，β滿足cosα＞sinβ，則α+β＜

π

2

；
（4 ）若函數(shù)f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數(shù)，且在[-1，0]上是增函數(shù)，θ∈（

π

4

，

π

2

），則f（sinθ）＞f（cosθ）．
其中正確命題的個數(shù)為（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：寫出分段函數(shù)，由分段函數(shù)的值域判斷（1）錯誤；
由周期公式直接求得a的值判斷（2）錯誤；
化余弦為正弦，由正弦函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合cosα＞sinβ得到α+β＜

π

2

，命題（3）正確；
由偶函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性的性質(zhì)判斷f（x）在[0，1]上是減函數(shù)，然后由角θ的范圍得到sinθ與cosθ
的大小關(guān)系，從而得到f（sinθ）與f（cosθ）的大小關(guān)系，判斷命題（4）錯誤．

解答： 解：對于（1），
∵y=sinx+sin|x|=

2sinx (x≥0) 0        (x＜0)

，
∴函數(shù)y=sinx+sin|x|的值域是[-2，2]，命題（1）錯誤；
對于（2），
∵函數(shù)y=2cos（ax-

π

3

）的最小正周期是4π，
∴

2π

|a|

=4π，解得a=±

1

2

，命題（2）錯誤；
對于（3），
∵α，β為銳角，由cosα＞sinβ，得sin（

π

2

-α）＞sinβ，
∴

π

2

-α＞β，則α+β＜

π

2

，命題（3）正確；
對于（4），
函數(shù)f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數(shù)，且在[-1，0]上是增函數(shù)，
則f（x）在[0，1]上是減函數(shù)，
由θ∈（

π

4

，

π

2

），得

2

2

＜cosθ＜sinθ＜1，則f（sinθ）＜f（cosθ），命題（4）錯誤．
∴正確命題的個數(shù)是1．
故選：B．

點評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的單調(diào)性、周期性以及值域的求法，是中檔題．