Question

已知函數(shù)f（x）=x²+bsinx-2，（b∈R），且對(duì)任意x∈R，有f（-x）=f（x）．
（1）求b．
（2）討論函數(shù)h(x)=ln(1+x2)-

1

2

f(x)-k的零點(diǎn)個(gè)數(shù)？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)對(duì)任意x∈R，有f（-x）=f（x）建立等式關(guān)系，即可求出b的值；
（2）先令y=ln(1+x2)-

1

2

x2+1，求出該函數(shù)的最小值，將k與最小值進(jìn)行比較，當(dāng)k＞ln2+

1

2

時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，當(dāng)k＜1或k=ln2+

1

2

時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)k=1時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)1＜k＜ln2+

1

2

時(shí)，函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)．

解答：解：（1）由f（-x）=（-x）²+bsin（-x）-2=f（x）
得b=0．（4分）
（2）h(x)=ln(1+x2)-

1

2

x2+1-k，
令y=ln(1+x2)-

1

2

x2+1．
所以y′=

2x

1+x2

-x=-

(x+1)x(x-1)

x2+1

令y'=0，則x₁=-1，x₂=0，x₃=1，列表如下：

x	（-∞-1）	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
y'	+	0	-	0	+	0	-
h（x）	單調(diào)遞增	極大值ln2+ 1 2	單調(diào)遞減	極小值1	單調(diào)遞增	極大值ln2+ 1 2	單調(diào)遞減

所以當(dāng)k＞ln2+

1

2

時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；
當(dāng)k＜1或k=ln2+

1

2

時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)k=1時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)．
當(dāng)1＜k＜ln2+

1

2

時(shí)，函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．