Question

已知函數(shù)f（x）=x²+bsinx-2，（b∈R），且對任意x∈R，有f（-x）=f（x）．
（1）求b．
（2）討論函數(shù)h(x)=ln(1+x2)-

1

2

f(x)-k的零點個數(shù)？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)對任意x∈R，有f（-x）=f（x）建立等式關系，即可求出b的值；
（2）先令y=ln(1+x2)-

1

2

x2+1，求出該函數(shù)的最小值，將k與最小值進行比較，當k＞ln2+

1

2

時，函數(shù)無零點，當k＜1或k=ln2+

1

2

時，函數(shù)有兩個零點，當k=1時，函數(shù)有三個零點，當1＜k＜ln2+

1

2

時，函數(shù)有四個零點．

解答：解：（1）由f（-x）=（-x）²+bsin（-x）-2=f（x）
得b=0．（4分）
（2）h(x)=ln(1+x2)-

1

2

x2+1-k，
令y=ln(1+x2)-

1

2

x2+1．
所以y′=

2x

1+x2

-x=-

(x+1)x(x-1)

x2+1

令y'=0，則x₁=-1，x₂=0，x₃=1，列表如下：

x	（-∞-1）	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
y'	+	0	-	0	+	0	-
h（x）	單調(diào)遞增	極大值ln2+ 1 2	單調(diào)遞減	極小值1	單調(diào)遞增	極大值ln2+ 1 2	單調(diào)遞減

所以當k＞ln2+

1

2

時，函數(shù)無零點；
當k＜1或k=ln2+

1

2

時，函數(shù)有兩個零點；
當k=1時，函數(shù)有三個零點．
當1＜k＜ln2+

1

2

時，函數(shù)有四個零點．（13分）

點評：本題主要考查了函數(shù)的零點以及利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，同時考查了計算能力，屬于中檔題．