Question

學(xué)習(xí)曲線是1936年美國廉乃爾大學(xué)T．P．Wright博士在飛機(jī)制造過程中，通過對大量有關(guān)資料、案例的觀察、分析、研究，首次發(fā)現(xiàn)并提出來的．已知某類學(xué)習(xí)任務(wù)的學(xué)習(xí)曲線為：f（t）=•100%（其中f（t））為掌握該任務(wù)的程度，t為學(xué)習(xí)時(shí)間），且這類學(xué)習(xí)任務(wù)中的某項(xiàng)任務(wù)滿足f（2）=60%
（1）求f（t）的表達(dá)式，計(jì)算f（0）并說明f（0）的含義；
（2）已知2^x＞xln2對任意x＞0恒成立，現(xiàn)定義為該類學(xué)習(xí)任務(wù)在t時(shí)刻的學(xué)習(xí)效率指數(shù)，研究表明，當(dāng)學(xué)習(xí)時(shí)間f∈（1，2）時(shí)，學(xué)習(xí)效率最佳，當(dāng)學(xué)習(xí)效率最佳時(shí)，求學(xué)習(xí)效率指數(shù)相應(yīng)的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由%，及f（2）=60%代入可求a，進(jìn)而可求f（t），f（0），f（0）表示某項(xiàng)學(xué)習(xí)任務(wù)在開始學(xué)習(xí)時(shí)已掌握的程度
（2）令學(xué)習(xí)效率指數(shù)，（t＞0），利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究 的單調(diào)性，進(jìn)而可求函數(shù)g（t）在（1，2）上的值域即學(xué)習(xí)效率指數(shù)相應(yīng)的取值范圍．
解答：解：（1）∵%，且f（2）=60%
%=60%，可得a=4
∴f（t）=
∴%
f（0）表示某項(xiàng)學(xué)習(xí)任務(wù)在開始學(xué)習(xí)時(shí)已掌握的程度為37.5% （4分）
（2）令學(xué)習(xí)效率指數(shù)，
（t＞0）
現(xiàn)研究 的單調(diào)性
（t＞0）（6分）
又已知x＞0時(shí)，2^x＞xln2恒成立
所以2^t-tln2＞0恒成立
∴g（t）在（0，+∞）上為增函數(shù)且g（t）為正數(shù)
∴上為減函數(shù)．  （8分）
而
∴
故所求學(xué)習(xí)效率指數(shù)的取值范圍是（） （10分）
點(diǎn)評：本題以新定義為載體主要考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及利用單調(diào)性求解函數(shù)的值域，屬于知識的簡單運(yùn)用．