已知二次函數(shù)f（x）=x2-2（10-3n）x+9n2-61n+100（n∈N*）．
（1）設(shè)函數(shù)y=f（x）的圖象的頂點的橫坐標構(gòu)成數(shù)列{an}，求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；
（2）在（1）的條件下，若數(shù)列{cn}滿足cn=1+
1
4n-
25
2
+an
（n∈N*），求數(shù)列{cn}中最大的項和最小的項．
分析：（1）由y=f（x）的圖象的頂點的橫坐標為x=-
b
2a
=10-3n，推導(dǎo)出an-an-1=-3．由此能證明{an}是等差數(shù)列．
（2）由cn=1+
1
4n-
25
2
+an
=1+
2
2n-5
，分類討論，能求出{cn}中最小的項和最大的項．
解答：解：（1）證明：y=f（x）的圖象的頂點的橫坐標為x=-
b
2a
=-
-2(10-3n)
2
=10-3n，
∴an=10-3n，…（3分）
∴an-an-1=-3．…（5分）
∴{an}是等差數(shù)列．…（6分）
（2）∵cn=1+
1
4n-
25
2
+an
=1+
1
4n-
25
2
+10-3n

=1+
2
2n-5
，…（8分）
當n≤2時，
2
2n-5
＜0，且c1＞c2，…（10分）
當n≥3時，
2
2n-5
＞0且cn＞cn+1．…（12分）
∴{cn}中最小的項為c2=-1，最大的項為c3=3．…（13分）
點評：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列中最大項和最小項的求法，解題時要認真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想的合理運用．
練習(xí)冊系列答案
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已知二次函數(shù)f（x）=x2+2（m-2）x+m-m2．
（I）若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，且滿足f（2）=0，求實數(shù)m的值．
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)，求m的取值范圍．

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已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點（0，1），且與x軸有唯一的交點（-1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，記此函數(shù)的最小值為g（k），求g（k）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2-16x+q+3．
（1）若函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上存在零點，求實數(shù)q的取值范圍；
（2）若記區(qū)間[a，b]的長度為b-a．問：是否存在常數(shù)t（t≥0），當x∈[t，10]時，f（x）的值域為區(qū)間D，且D的長度為12-t？請對你所得的結(jié)論給出證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•廣州一模）已知二次函數(shù)f（x）=x2+ax+m+1，關(guān)于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集為（m，m+1），其中m為非零常數(shù)．設(shè)g(x)=
f(x)x-1
．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值時，函數(shù)φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值點，并求出極值點；
（3）若m=1，且x＞0，求證：[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知二次函數(shù)f（x）的圖象與x軸的兩交點為（2，0），（5，0），且f（0）=10，求f（x）的解析式．
（2）已知二次函數(shù)f（x）的圖象的頂點是（-1，2），且經(jīng)過原點，求f（x）的解析式．

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