Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=n-5a_n-85，n∈N^*．
（1）證明：{a_n-1}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{S_n}的通項(xiàng)公式，并求出使得S_n+1＞S_n成立的最小正整數(shù)n．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過a_n=S_n-S_n-₁求出當(dāng)≥2時，a_n的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得出為常數(shù)，進(jìn)而驗(yàn)證a₁-1最后可確定{a_n-1}是等比數(shù)列；
（2）根據(jù)（1）{a_n-1}是以15為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列可求得數(shù)列{a_n-1}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．可知
{a_n}是由常數(shù)列和等比數(shù)列構(gòu)成，進(jìn)而求出S_n．進(jìn)而代入S_n+1＞S_n兩邊求對數(shù)，進(jìn)而可得答案．
解答：解：（1）當(dāng)n=1時，a₁=-14；
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-₁=-5a_n+5a_n-₁+1，
所以，
又a₁-1=-15≠0，所以數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列；
（2）由（1）知：，
得，
從而（nÎN*）；
由S_n+₁＞S_n，得，，
最小正整數(shù)n=15．
點(diǎn)評：本題主要考查了數(shù)列等比關(guān)系的確定．等比數(shù)列的通向公式可以寫成，所以它與指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)有著密切的聯(lián)系，從而可以利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來研究等比數(shù)列．