Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

a

•

b

定義在R上，其中

a

=(cosx，sin2x)，

b

=(2cosx，

3

)．
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移

π

6

單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)延長到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若g（x）＜m+2在x∈[O，2π]上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先利用向量的數(shù)量積公式，再利用輔助角公式化簡函數(shù)，利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，即可求得結(jié)論；
（2）先求函數(shù)y=g（x），再求函數(shù)的最小值，即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）∵

a

=(cosx，sin2x)，

b

=(2cosx，

3

)，
∴y=f（x）=2cos²x+

3

sin2x=cos2x+

3

sin2x+1=2sin（2x+

π

6

）
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），可得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ（k∈Z），
∴函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]（k∈Z）；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移

π

6

單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)延長到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）=2sin（

1

4

x-

π

6

）
∵x∈[O，2π]，∴

1

4

x-

π

6

∈[-

π

6

，

π

3

]
∴sin（

1

4

x-

π

6

）∈[-

1

2

，

3

2

]
∴2sin（

1

4

x-

π

6

）∈[-1，

3

]
∵f（x）＜m+2在x∈[O，2π]上恒成立，
∴-1＜m+2，∴m＞-3．

點(diǎn)評：本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查輔助角公式的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，正確確定函數(shù)解析式是關(guān)鍵．