Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x-1．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（3）在如圖坐標系里用五點法畫出函數(shù)f（x），x∈[-

7π

12

，

5π

12

]的圖象．

x	- 7π 12				5π 12

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,五點法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先利用函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，把函數(shù)關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進一步求出函數(shù)的最小正周期．
（2）直接利用（1）的函數(shù)關(guān)系式利用整體思想求正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（3）利用列表，描點．連線求出函數(shù)的圖象．

解答： 解：（1）f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x-1
=2sin(2x+

π

6

)
所以：T=

2π

2

=π
（2）令：

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z）
解得：

π

6

+kπ≤x≤kπ+

2π

3

（k∈Z）
所以：函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：[

π

6

+kπ，kπ+

2π

3

]（k∈Z）
（3）列表：
描點并連線

x	- 7π 12	- π 3	- π 12	π 6	5π 12
2x+ π 6	-π	- π 2	0	π 2	π
sin（2x+ π 6 ）	0	-1	0	1	0
2sin（2x+ π 6 ）	0	-2	0	2	0

點評：本題考查的知識要點：函數(shù)關(guān)系似的恒等變換，正弦型函數(shù)的周期和單調(diào)區(qū)間的應(yīng)用，利用五點法畫出函數(shù)的圖象．屬于基礎(chǔ)題型．