已知函數(shù)f(x)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線(xiàn)y＝x對(duì)稱(chēng)．

(1)試用含a的代數(shù)式表示函數(shù)f(x)的解析式，并指出它的定義域；

(2)數(shù)列｛an｝中，a1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＞a1．?dāng)?shù)列｛bn｝中，b1＝2，Sn＝b1＋b2＋…bn．點(diǎn)在函數(shù)f(x)的圖像上，求a的值；

(3)在(2)的條件下，過(guò)點(diǎn)Pn作傾斜角為的直線(xiàn)ln，則ln在ｙ軸上的截距為，求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式．

答案：
解析：

　　(1)由題可知：與函數(shù)互為反函數(shù)，所以，

　　，　　2分

　　(2)因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖像上，所以，

　　(*)

　　在上式中令可得：，又因?yàn)椋?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60A2/0526/0021/9205c303b093bff1fb0efe43c4d884a7/C/Image115.gif" width=34 height=24>，，代入可解得：．所以，，(*)式可化為：①6分

　　(3)直線(xiàn)的方程為：，，

　　在其中令，得，又因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60A2/0526/0021/9205c303b093bff1fb0efe43c4d884a7/C/Image121.gif" width=14 height=24>在ｙ軸上的截距為，所以，

　　=，結(jié)合①式可得：②

　　由①可知：當(dāng)自然數(shù)時(shí)，，，兩式作差得：．

　　結(jié)合②式得：③

　　在③中，令，結(jié)合，可解得：，

　　又因?yàn)椋寒?dāng)時(shí)，，所以，舍去，得．

　　同上，在③中，依次令，可解得：，．

　　猜想：．下用數(shù)學(xué)歸納法證明．　　10分

　　(1)時(shí)，由已知條件及上述求解過(guò)程知顯然成立．

　　(2)假設(shè)時(shí)命題成立，即，則由③式可得：

　　

　　把代入上式并解方程得：

　　由于，所以，，所以，

　　符合題意，應(yīng)舍去，故只有．

　　所以，時(shí)命題也成立．

　　綜上可知：數(shù)列的通項(xiàng)公式為　　14分


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
x2
1+x2

（1）由f(2)=
4
5
，f(
1
2
)=
1
5
，f(3)=
9
10
，f(
1
3
)=
1
10
這幾個(gè)函數(shù)值，你能發(fā)現(xiàn)f（x）與f(
1
x
)有什么關(guān)系？并證明你的結(jié)論；
（2）求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2010)+f(
1
2
)+f(
1
3
)+…+f(
1
2010
)的值；
（3）判斷函數(shù)f(x)=
x2
1+x2
在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-3x-
3
4
．定義函數(shù)f（x）與實(shí)數(shù)m的一種符號(hào)運(yùn)算為m?f（x）=f（x）•[f（x+m）-f（x）]．
（1）求使函數(shù)值f（x）大于0的x的取值范圍；
（2）若g(x)=4?f(x)+
7
2
x2，求g（x）在區(qū)間[0，4]上的最大值與最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-3x-
3
4
．定義函數(shù)f（x）與實(shí)數(shù)m的一種符號(hào)運(yùn)算為m?f（x）=f（x）•[f（x+m）-f（x）]．
（1）求使函數(shù)值f（x）大于0的x的取值范圍；
（2）若g(x)=4?f(x)+
7
2
x2，求g（x）在區(qū)間[0，4]上的最大值與最小值；
（3）是否存在一個(gè)數(shù)列{an}，使得其前n項(xiàng)和Sn=4?f(n)+
7
2
n2．若存在，求出其通項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=.

（1）求圖象的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值和零點(diǎn)；

（3）設(shè)圖象與x軸相交于(x1,0)、(x2,0)，不求出根，求|x1-x2|；

（4）已知f(-)=，不計(jì)算函數(shù)值，求f(-);

（5）不計(jì)算函數(shù)值，試比較f(-)與f(-)的大��；

（6）寫(xiě)出使函數(shù)值為負(fù)數(shù)的自變量x的集合.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=
x2
1+x2

（1）由f(2)=
4
5
，f(
1
2
)=
1
5
，f(3)=
9
10
，f(
1
3
)=
1
10
這幾個(gè)函數(shù)值，你能發(fā)現(xiàn)f（x）與f(
1
x
)有什么關(guān)系？并證明你的結(jié)論；
（2）求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2010)+f(
1
2
)+f(
1
3
)+…+f(
1
2010
)的值；
（3）判斷函數(shù)f(x)=
x2
1+x2
在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性．

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