Question

如圖4-1-1,已知兩點(diǎn)P₁(4,9)和P₂(6,3).

圖4-1-1

(1)求以P₁P₂為直徑的圓的方程;

(2)試判斷點(diǎn)M(6,9)、N(3,3)、Q(5,3)是在圓上,圓內(nèi),還是在圓外？

Answer 1

思路分析:對于本題中圓的方程可從兩個(gè)角度來考慮:(1)從確定圓的條件考慮,需要求圓心和半徑,可用待定系數(shù)法解決(解法一).(2)從圖形上動(dòng)點(diǎn)P的性質(zhì)考慮,用求曲線方程的一般方法解決(解法二).

(1)解法一:設(shè)圓心C(a,b),半徑r,

則由C為P₁P₂的中點(diǎn)得a==6.

又由兩點(diǎn)間的距離公式得r=|CP₁|= ,

∴所求圓的方程為(x-5)²+(y-6)²=10.

解法二:∵半圓上的圓周角是直角,

∴對于圓上任一點(diǎn)P(x,y),有PP₁⊥PP₂.

·=-1,即=-1.

化簡得x²+y²-10x-12y+51=0,

顯然當(dāng)點(diǎn)P與P₁、P₂重合時(shí),也滿足上述方程.

綜上可知(x-5)²+(y-6)²=10為所求圓的方程.

(2)分別計(jì)算點(diǎn)到圓心的距離:

|CM|=;

|CN|=;

|CQ|=.

因此,點(diǎn)M在圓上,點(diǎn)N在圓外,點(diǎn)Q在圓內(nèi).

  綠色通道:解法一從圓的兩個(gè)要素入手,確定出圓心和半徑,解法二則從動(dòng)點(diǎn)的幾何特征入手,將圓周角為直角這一特征用坐標(biāo)加以表示.對于本題還可直接通過三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半這一性質(zhì)列方程求解.

    另外,本題也可直接套用公式,即以點(diǎn)P₁(x₁,y₁)、P₂(x₂,y₂)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x-x₁)(x-x₂)+(y-y₁)(y-y₂)=0.