Question

已知拋物線y²=4x，過x軸上一點K的直線與拋物線交于點P，Q．證明：存在唯一一點K，使得

1

|PK|2

+

1

|KQ|2

為常數，并確定K點的坐標．

Answer 1

證明：設K（a，0），過K點直線方程為y=k（x-a），交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯立方程組

y2=4x y=k(x-a)

，
∴k²x²-2（ak²+2）x+a²k²=0，
∴x1+x2=

2(ak2+2)

k2

，x1x2=a2…（5分）
∴|PK2|=(x1-a)2+

y

21

，|KQ2|=(x2-a)2+

y

22

…（7分）
∴

1

|PK2|

+

1

|KQ2|

=

1+ a 2 k2

a2(1+k2)

，…（12分）
令a=2，可得

1

|PK2|

+

1

|KQ2|

=

1

4

，K(2，0)．…（17分）