Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C_l的參數(shù)方程為

x= 2 cosα y= 2 sinα

（α為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+

π

4

）=4

2

（Ⅰ）求曲線C_l的普通方程與曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)P為曲線C₁上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到C₂上點(diǎn)的距離的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的參數(shù)方程,簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：計(jì)算題,直線與圓

分析：（Ⅰ）把圓的參數(shù)方程平方作和即可得到圓的普通方程．展開兩角和的正弦公式，代入x=ρcosθ，y=ρsinθ得直線的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）由圓心到直線的距離減去圓的半徑得點(diǎn)P到C₂上點(diǎn)的距離的最小值，聯(lián)立聯(lián)立

x2+y2=2 y=x

求得P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答： 解：（Ⅰ）由

x= 2 cosα y= 2 sinα

，兩式平方作和得：x²+y²=2．
∴曲線C_l的普通方程為x²+y²=2．
由ρsin（θ+

π

4

）=4

2

，得：
ρsinθcos

π

4

+ρcosθsin

π

4

=4

2

．
即

2

2

ρsinθ+

2

2

ρcosθ=4

2

，
ρsinθ+ρcosθ=8．
∴曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為x+y=8；
（Ⅱ）如圖，

過(guò)O作直線C₂的垂線交圓C_l于點(diǎn)P，
則圓C_l上的動(dòng)點(diǎn)P到直線C₂的最小距離為：d=

8

2

-

2

=3

2

．
聯(lián)立

x2+y2=2 y=x

，解得

x=1 y=1

或

x=-1 y=-1

（舍）．
故取得最小值時(shí)的P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的參數(shù)方程化普通方程，考查直線的極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程，訓(xùn)練了點(diǎn)到直線的距離公式，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．