Question

已知A、B、C是三角形ABC的三個內(nèi)角，向量

m

=(-

1

2

，

3

2

)，

n

=（cosA，sinA），且

m

•

n

=

1

2

．
（I）求角A；
（II）若sin2B+3cos2B=-1，求tanC．

Answer 1

分析：（1）先利用向量數(shù)量積運算性質(zhì)，將等式m•n=

1

2

轉(zhuǎn)化為三角等式，并利用三角變換公式將其化簡得sin（A-

π

6

）=

1

2

，從而由角A的范圍求得角A的值；
（2）先利用二倍角公式和同角三角函數(shù)基本關系式將已知三角函數(shù)式化為二次齊次式，再兩邊同除以cos²B得關于tanB的方程，解得tanB的值，再利用兩角和的正切公式計算所求值即可

解答：解：（I）∵

m

•

n

=(-

1

2

，

3

2

)•（cosA，sinA）=

1

2

，即

3

sinA-cosA=1
∴sin（A-

π

6

）=

1

2

，又在△ABC中，-

π

6

＜A-

π

6

＜

5π

6

∴A-

π

6

=

π

6

，∴A=

π

3

（II）由sin2B+3cos2B=-1
得2sinBcosB+3（cos²B-sin²B）=-（sin²B+cos²B）
兩邊同除以cos²B得：2tanB+3（1-tan²B）=-（tan²B+1）
化簡得tan²B-tanB-2=0
∴tanB=-1或tanB=2
若tanB=-1，則B=

3π

4

，此時A+B＞π，不合題意；
若tanB=2，則tanC=-tan（A+B）=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

3 +2

1-2 3

=

8+5 3

11

點評：本題主要考查了向量數(shù)量積的運算性質(zhì)，三角變換公式在三角化簡即求值中的應用，二倍角公式及二次齊次式的解題技巧，屬基礎題