Question

設(shè)f(x)=alnx+

1

2x

+

3

2

x+1（a∈R），曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線垂直于y軸．
（1）求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．

Answer 1

分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由f′（1）=0求解a的值；
（2）把a=-1代入函數(shù)f（x）的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)小于0求得函數(shù)的減區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)大于0求得函數(shù)的增區(qū)間，并求出最小值．

解答：解：（1）由f(x)=alnx+

1

2x

+

3

2

x+1，得
f′(x)=

a

x

-

1

2x2

+

3

2

，
∵曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線垂直于y軸，
則f′（1）=0，
即a-

1

2

+

3

2

=0，解得：a=-1；
（2）f(x)=-lnx+

1

2x

+

3

2

x+1．
函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
f′(x)=-

1

x

-

1

2x2

+

3

2

=

-2x-1+3x2

2x2

．
由f′（x）=0，得：x=-

1

3

或x=1．
當x∈（0，1）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)．
∴f（x）的減區(qū)間為（0，1），增區(qū)間為（1，+∞）；
當x=1時，函數(shù)f（x）取得極小值，為f(1)=-ln1+

1

2

+

3

2

+1=3．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題．