Question

已知函數 f（x）=ax²-（2a+1）x+lnx，a∈R，
（I）討論函數f（x）的單調性；
（II）設a＜-1，證明：對任意x₁，x₂∈（2，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥2|x₁-x₂|．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函數定義域及導數f′（x）=

(2ax-1)(x-1)

x

，分①a=0，②0＜a＜

1

2

，③a=

1

2

，④a＞

1

2

，⑤a＜0五種情況進行討論解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，解出不等式即為單調區(qū)間；
（Ⅱ）證明不等式|f（x₁）-f（x₂）|≥2|x₁-x₂|，即|

f(x1)-f(x2)

x1-x2

|≥2，可證明|f′（x）|≥2，利用導數可轉化為函數的最值問題證明；

解答：解：（Ⅰ）函數的定義域為（0，+∞）．
f′（x）=2ax-（2a+1）+

1

x

=

2ax2-(2a+1)x+1

x

=

(2ax-1)(x-1)

x

，
①若a=0，則f′（x）=

-(x-1)

x

，當0＜x＜1時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，當x＞1時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；
②若0＜a＜

1

2

，令f′（x）＞0，得0＜x＜1或x＞

1

2a

，令f′（x）＜0，得1＜x＜

1

2a

，
所以f（x）在（0，1），（

1

2a

，+∞）上遞增，在（1，

1

2a

）上遞減；
③若a=

1

2

，f′（x）=

(x-1)2

x

≥0，f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
令f′（x）＞0，得0＜x＜

1

2a

，或x＞1，令f′（x）＜0，得

1

2a

＜x＜1，
所以f（x）在（0，

1

2a

），（1，+∞）上單調遞增，在（

1

2a

，1）上單調遞減；
⑤若a＜0，令f′（x）＞0，得0＜x＜1，令f′（x）＜0，得x＞1，
所以f（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減；
綜上，a=0時，f（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上遞減；0＜a＜

1

2

時，f（x）在（0，1），（

1

2a

，+∞）上遞增，在（1，

1

2a

）上遞減；
a=

1

2

時，f（x）在（0，+∞）上單調遞增；a＞

1

2

時，f（x）在（0，

1

2a

），（1，+∞）上單調遞增，在（

1

2a

，1）上單調遞減；
a＜0時，f（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減；
（Ⅱ）|f（x₁）-f（x₂）|≥2|x₁-x₂|，即|

f(x1)-f(x2)

x1-x2

|≥2，所以有|f′（x）|≥2．
所以證明對任意x₁，x₂∈（2，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥2|x₁-x₂|，
只需證明|f′（x）|≥2，即證明|

(2ax-1)(x-1)

x

|≥2對任意x∈（2，+∞）成立，也即證明2a≤

-x-1

x(x-1)

（x＞2），
令g（x）=

-x-1

x(x-1)

（x＞2），則g′（x）=

x2+2x-1

x2(x-1)2

，
當x＞2時，g′（x）＞0，所以g（x）在（2，+∞）上單調遞增，g（x）＞g（2）=-

3

2

，
而a＜-1時，2a＜-2，所以2a＜-

3

2

＜g（x），即2a≤

-x-1

x(x-1)

（x＞2）成立．
故a＜-1時，對任意x₁，x₂∈（2，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥2|x₁-x₂|．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性及函數的最值問題，考查分類討論思想，考查學生綜合運用知識分析問題解決問題的能力，屬難題．