Question

已知函數(shù)f（x）=x³+3ax²+3x+1．
（I）求；
（II）若x∈[2，+∞）時，f（x）≥0，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）把a=代入可得函數(shù)f（x）的解析式，求導數(shù)令其為0可得x=-，或x=-，判斷函數(shù)在區(qū)間（-∞，-），（-，-），（-，+∞）的正負可得單調(diào)性；（II）由f（2）≥0，可得a≥，當a≥，x∈（2，+∞）時，由不等式的證明方法可得f′（x）＞0，可得單調(diào)性，進而可得當x∈[2，+∞）時，有f（x）≥f（2）≥0成立，進而可得a的范圍．
解答：解：（I）當a=時，f（x）=x³+3x²+3x+1，
f′（x）=3x²+6x+3，令f′（x）=0，可得x=-，或x=-，
當x∈（-∞，-）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
當x∈（-，-）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當x∈（-，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
（II）由f（2）≥0，可解得a≥，當a≥，x∈（2，+∞）時，
f′（x）=3（x²+2ax+1）≥3（）=3（x-）（x-2）＞0，
所以函數(shù)f（x）在（2，+∞）單調(diào)遞增，于是當x∈[2，+∞）時，f（x）≥f（2）≥0，
綜上可得，a的取值范圍是[，+∞）
點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，涉及函數(shù)的最值問題，屬中檔題．