Question

已知a＞0，函數(shù)f（x）=x|x-a|+1（x∈R）．
（1）當a=1時，求所有使f（x）=x成立的x的值；
（2）當a∈（0，3）時，求函數(shù)y=f（x）在閉區(qū)間[1，2]上的最小值；
（3）試討論函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=a的交點個數(shù)．

Answer 1

分析：（1）把a=1代入f（x）=x|x-a|+1，解方程f（x）=x即可求得結(jié)果；
（2）去絕對值符號，f(x)=

x2-ax+1，x≥a -x2+ax+1，x＜a

，對a分情況討論，0＜a≤1時，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，2]上遞增，求出函數(shù)的最小值；當1＜a≤2時，f（x）_min=f（a）=1；
當2＜a＜3時，x≤2＜a，數(shù)f（x）_min=f（2）=2a-3；
（3）a＞0時，求出函數(shù)在各段上的函數(shù)的最值和單調(diào)性，即可對a進行分類討論，即可求得結(jié)果．

解答：解：（1）當a=1時，有x|x-1|+1=x
所以x=-1或x=1；
（2）f(x)=

x2-ax+1，x≥a -x2+ax+1，x＜a

，
1°．當0＜a≤1時，x≥1≥a，這時，f（x）=x²-ax+1，對稱軸x=

a

2

≤

1

2

＜1，
所以函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，2]上遞增，f（x）_min=f（1）=2-a；
2°．當1＜a≤2時，x=a時函數(shù)f（x）_min=f（a）=1；
3°．當2＜a＜3時，x≤2＜a，這時，f（x）=-x²+ax+1，對稱軸x=

a

2

∈(1，

3

2

)，
f（1）=a，f（2）=2a-3，∵（2a-3）-a=a-3＜0
所以函數(shù)f（x）_min=f（2）=2a-3；
（3）因為a＞0，所以a＞

a

2

，
所以y₁=x²-ax+1在[a，+∞）上遞增；y₂=-x²+ax+1在(-∞，

a

2

)遞增，在[

a

2

，a)上遞減．
因為f（a）=1，所以當a=1時，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=a有2個交點；
又f(

a

2

)=

a2

4

+1≥2•

a

2

•1=a，當且僅當a=2時，等號成立．
所以，當0＜a＜1時，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=a有1個交點；
當a=1時，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=a有2個交點；
當1＜a＜2時，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=a有3個交點；
當a=2時，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=a有2個交點；
當a＞2時，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=a有3個交點．

點評：本題考查二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問題和函數(shù)圖象交點個數(shù)等知識，去絕對值求出函數(shù)的解析式，并對各段函數(shù)的最值的求解是解題的關(guān)鍵，考查運算能力和分析解決問題的能力，屬難題．