(1)用二項式定理證明1110－1能被100整除．

(2)求9192被100除所得的余數(shù)．

答案：
解析：

　　(1)證明：∵1110－1＝(10＋1)10－1＝(1010＋·109＋…＋·10＋1)－1

　　＝1010＋·109＋·108＋…＋102

　�。�100(108＋·107＋·106＋…＋1)．

　　∴1110－1能被100整除．

　　(2)解法一：(100－9)92＝·10092－·10091·9＋·10090·92－…＋992，

　　展開式中前92項均能被100整除，只需求最后一項除以100的余數(shù)．

　　∵992＝(10－1)92＝·1092－·1091＋…＋·102－·10＋1，

　　前91項均能被100整除，后兩項和為－919，因余數(shù)為正，可從前面的數(shù)中分離出1 000，結(jié)果為1 000－919＝81，

　　故9192被100除可得余數(shù)為81．

　　解法二：(90＋1)92＝·9092＋·9091＋…＋·902＋·90＋．

　　前91項均能被100整除，剩下兩項和為92×90＋1＝8 281，顯然8 281除以100所得余數(shù)為81．

　　思路分析：解決利用二項式定理證明整除問題關(guān)鍵是判斷所證式子與除數(shù)之間的聯(lián)系，要掌握好對式子的拆分，如本例的第(1)小題，可以利用1110＝(10＋1)10展開式進行證明，第(2)小題則可利用9192＝(100－9)92展開式，或利用(90＋1)92展開式進行求解．


提示：

利用二項式定理可以求余數(shù)和整除性問題，通常需將底數(shù)化成兩數(shù)的和與差的形式，且這種轉(zhuǎn)化形式與除數(shù)有密切的關(guān)系．


練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）化簡[(a-
3
2
b2)-1(ab-3)
1
2
(b
1
2
)7]
1
3
．
（2）解
1
6
lgx=
1
3
lga+2lgb+lgc．
（3）用二項式定理計算（3.02）4，使誤差小于千分之一．
（4）試證直角三角形弦上的半圓的面積，等于勾上半圓的面積與股上半圓的面積的總和．
（5）已知球的半徑等于r，試求內(nèi)接正方形的體積．
（6）已知a是三角形的一邊，β及γ是這邊的兩鄰角，試求另一邊b的計算公式．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（1）化簡[(a-
3
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1
2
(b
1
2
)7]
1
3
．
（2）解
1
6
lgx=
1
3
lga+2lgb+lgc．
（3）用二項式定理計算（3.02）4，使誤差小于千分之一．
（4）試證直角三角形弦上的半圓的面積，等于勾上半圓的面積與股上半圓的面積的總和．
（5）已知球的半徑等于r，試求內(nèi)接正方形的體積．
（6）已知a是三角形的一邊，β及γ是這邊的兩鄰角，試求另一邊b的計算公式．

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科目：高中數(shù)學 來源：1954年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

（1）化簡．
（2）解lga+2lgb+lgc．
（3）用二項式定理計算（3.02）4，使誤差小于千分之一．
（4）試證直角三角形弦上的半圓的面積，等于勾上半圓的面積與股上半圓的面積的總和．
（5）已知球的半徑等于r，試求內(nèi)接正方形的體積．
（6）已知a是三角形的一邊，β及γ是這邊的兩鄰角，試求另一邊b的計算公式．

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