Question

從橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上一點P向x軸引垂線，垂足恰為橢圓的左焦點F₁，A為橢圓的右頂點，B是橢圓的上頂點，且

AB

=λ

OP

(λ＞0)．
（1）求該橢圓的離心率．
（2）若該橢圓的準線方程是x=±2

5

，求橢圓方程．

Answer 1

分析：（1）由

AB

=λ

OP

，可得AB∥OP，從而有△PF₁O∽△BOA，可得到相似比

|PF1|

|BO|

=

|FO1|

|OA|

=

c

a

?|PF1|=

bc

a

，再由P(-c，y)?

c2

a2

+

|PF1|

b2

=1?|PF1|=

b2

a2

，得到b=c結(jié)合a²=b²+c²求得離心率．
（2）由準線方程可知

a2

c

=2

5

?a2=2

5

c，由

a2=2 5 c b=c a2=b2+c2

求得a，b即求得橢圓方程．

解答：解：（1）∵

AB

=λ

OP

，
∴AB∥OP，
∴△PF₁O∽△BOA，
∴

|PF1|

|BO|

=

|FO1|

|OA|

=

c

a

?|PF1|=

bc

a

，（2分）
又P(-c，y)?

c2

a2

+

|PF1|

b2

=1?|PF1|=

b2

a

，
∴b=c，（4分）
而a²=b²+c²
∴a2=2c2?e=

2

2

．（8分）
（2）∵x=±2

5

為準線方程，
∴

a2

c

=2

5

?a2=2

5

c，（10分）
由

a2=2 5 c b=c a2=b2+c2

?

a2=10 b2=5

．（12分）
∴所求橢圓方程為

x2

10

+

y2

5

=1．（14分）

點評：本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，這里涉及了離心率，橢圓方程求法，關(guān)鍵是a，b，c三者間的關(guān)系及轉(zhuǎn)化．