Question

如圖，A點(diǎn)在x軸上方，△ABC外接圓半徑R=

14 3

3

，∠ABC=1200，BC=10，弦BC在x軸上且y軸垂直平分BC邊，
（1）求△ABC外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求過點(diǎn)A且以B，C為焦點(diǎn)的橢圓方程．

Answer 1

分析：（1）由正弦定理可求AC=2Rsin120°，然后由余弦定理可得，AC²=AB²+BC²-2AB•BCcos120°可求AB，結(jié)合三角函數(shù)的定義可求A的坐標(biāo)，從而可求AC的垂直平分線的方程，結(jié)合已知可求△ABC外接圓的圓心和半徑，即可求解
（2）由題意可求2a=AB+AC，2c然后結(jié)合b²=a²-c²可求b，即可求解橢圓方程

解答：（1）解：∵△ABC外接圓半徑R=

14 3

3

，∠ABC=1200，BC=10，
由正弦定理可得，AC=2Rsin120°=14
由余弦定理可得，AC²=AB²+BC²-2AB•BCcos120°
即196=AB2+100-20AB×(-

1

2

)
解可得AB=6
由三角函數(shù)的定義可得，x=-5-6×cos60°=-8，y=6sin60°=3

3

∵C（5，0）
∴KAC=

3 3

5-(-8)

=

3 3

13

∴AC的垂直平分線的方程為y-

3 3

2

=

13

3 3

(x+

3

2

)
∵弦BC在x軸上且y軸垂直平分BC邊
∴△ABC外接圓的圓心為AC與y軸的交點(diǎn)
在直線AC的方程中，令x=0可得y=

11 3

3

即圓心（0，

11 3

3

），半徑R=

(0+8)2+( 11 3 3 -3 3 )2

=

196 3

∴△ABC外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程x2+(y-

11 3

3

)2=

196

3

（2）由題意可得，AB+AC=6+14=20，2c=10
∴a=10，c=5
∴b²=a²-c²=75
∴過點(diǎn)A且以B，C為焦點(diǎn)的橢圓的方程為

x2

100

+

y2

75

=1

點(diǎn)評：本題主要考查了三角形的 正弦定理及余弦定理在求解三角形中的應(yīng)用，直線位置關(guān)系在求解直線方程中的應(yīng)用及利用橢圓的定義求解橢圓方程，屬于知識的綜合應(yīng)用