Question

過△ABC各邊中點(diǎn)D、E、F分別作各邊的垂面，這三個垂面能否交于同一直線，若能交于同一直線，這條交線有什么特點(diǎn)，若不能交于同一直線，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

設(shè)過D、E、F作的AB、BC、CA的垂面分別為α、β、γ(如圖)，則有α∩β＝l，否則若α∥β，AB⊥α，AB⊥β． 　　∵BC⊥β，AB⊥β 　　∴BC∥β，這與BC∩AB＝B矛盾，因此α∩β＝l． 　　設(shè)l與OF確定的平面為，l∩平面ABC＝O． 　　∵AB⊥α，ODα． 　　∴AB⊥OD，同理BC⊥OE，O是AB、BC垂直平分線的交點(diǎn)，即O是△ABC的外心，從而AC⊥OF． 　　∵AB⊥α，lα，∴l⊥AB． 　　同理l⊥BC∴l⊥平面ABC 　　∵OF⊥AC∴AC⊥．因此平面與γ是同一平面． 　　∴α∩β∩＝l．∴α∩β∩γ＝l． 　　即這三個垂面交于同一條直線． 　　由前面的證明可知l⊥平面ABC．l在平面ABC的射影O就是△ABC的外心．

提示：

本題是運(yùn)用同一法來證明存在性問題．與代數(shù)中的探索性問題一樣，對于這類是否存在性的問題，根據(jù)立體幾何的知識直接構(gòu)造出符合題意的模型，作出肯定的回答，是解決這類問題的常用方法．