Question

已知點M(2,3)和雙曲線x²-=1,求以M為中點的雙曲線的弦AB所在的直線l的方程.

Answer 1

思路分析：本題仍然可以根據(jù)直線過點M(2,3)設(shè)出直線的參數(shù)方程,假設(shè)弦的兩個端點對應的參數(shù)分別為t_a,t_b,則由M為弦的中點可知t_A+t_B=0.把直線的參數(shù)方程代入雙曲線方程可得關(guān)于t的二次方程,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系建立方程即可.

解：根據(jù)條件可設(shè)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),

代入雙曲線的方程可得

(2+tcosα)²-=1.整理可得(2cos²α-sin²α)t²+(8cosα-6sinα)t-3=0.

設(shè)弦的兩個端點A,B對應的參數(shù)分別為t_a,t_b,因為M(2,3)為弦AB中點,所以t_A+t_B=0,

由二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得=0,即得8cosα-6sinα=0.

易得tanα=,即直線的斜率為,可得參數(shù)方程為(t為參數(shù)).

則直線的普通方程為y-3=(x-2),即4x-3y+1=0.

    深化升華 本節(jié)內(nèi)容是直線的參數(shù)方程,要認真理解參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義,只有這樣才能切實感受到它帶給我們的方便,還要注意掌握一些重要的性質(zhì).直線和圓錐曲線的關(guān)系是解析幾何研究的主要內(nèi)容,在解決有關(guān)問題時正確地使用參數(shù)方程,可以簡化運算過程,使過程更加簡單清晰.