Question

已知函數(shù)的最大值為g（a）．
（1）設(shè)，求t的取值范圍；
（2）求：g（a）的解析式；
（3）求：探究g（a）的單調(diào)性和最值．

Answer 1

解：（1）令t=+，
要使t有意義，必須1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1，
∴t²=2+2∈[2，4]，t≥0．
∴t的取值范圍[，2]．
（2）由（1）知，=t²-1
∴M（t）=a（t²-1）+t=at²+t-a，（≤t≤2）
由題意得g（a）即為函數(shù)M（t）=at²+t-a在t∈[，2]的最大值，
注意到直線t=-是拋物線M（t）的對(duì)稱軸，分別分以下情況討論．
當(dāng)a＞0時(shí)，y=M（t）在t∈[，2]上單調(diào)遞增，∴g（a）=M（2）=a+2．
當(dāng)a=0時(shí)，M（t）=t，t∈[，2），∴g（a）=2；
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)y=M（t），t∈[，2]圖象開口向下；
若t=-∈（0，]，即a≤-時(shí)，則g（a）=M（）=；
若t=-∈（，2]即-＜a≤-時(shí)，則g（a）=M（-）=-a-；
若t=-∈（2，+∞），-＜a＜0時(shí)，則g（a）=M（2）=a+2．
綜上得：g（a）=．
（3）①當(dāng)a＞-時(shí)，g（a）=a+2是增函數(shù)，值域?yàn)椋?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/33.png' />，+∞）；
②當(dāng)-時(shí)，g（a）=-a-是增函數(shù)，g（a）的值域?yàn)椋?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/53.png' />，]；
③當(dāng)a時(shí)，g（a）=是常函數(shù)，g（a）的值域?yàn)閧}．
綜上所述，g（a）=的最小值為，無(wú)最大值．
分析：（1）先根據(jù)根號(hào)內(nèi)有意義求出自變量的范圍，再對(duì)t兩邊平方結(jié)合x的范圍即可求出結(jié)論；
（2）直接根據(jù)=t²-1即可求出m（t），g（a）即為函數(shù)M（t）=at²+t-a在t∈[，2]的最大值；然后再結(jié)合二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求法分對(duì)稱軸和區(qū)間的三種位置關(guān)系分別討論即可．（注意開口方向）
（3）①當(dāng)a＞-時(shí)，g（a）=a+2是增函數(shù)，值域?yàn)椋?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/33.png' />，+∞）；②當(dāng)-時(shí)，g（a）=-a-是增函數(shù)，g（a）的值域?yàn)椋?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/53.png' />，]；③當(dāng)a時(shí)，g（a）=是常函數(shù)，g（a）的值域?yàn)閧}．由此能求出g（a）的單調(diào)性和最值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考察分段函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題以及分類討論思想的應(yīng)用．解決本題的關(guān)鍵在于第一問(wèn)中的t的取值范圍不能出錯(cuò)．而第三問(wèn)涉及到二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值討論，一定要注意討論對(duì)稱軸和區(qū)間的位置關(guān)系．