Question

（2010•河?xùn)|區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=[sin（

π

4

+x）sin（

π

4

-x）]•sin（

π

3

+x）
（1）求函數(shù)，f（x）的最大值，并求取得最大值時x值的集合：
（2）求函數(shù)f（x）的最小正周期，并判斷函數(shù)f（x）的圖象與x軸是否有交點，請說明理出．

Answer 1

分析：（1）通過兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)的表達式為一個角的一個三角函數(shù)的形式，然后求出函數(shù)f（x）的最大值，以及取得最大值時x值的集合：
（2）通過函數(shù)的解析式利用周期公式求出函數(shù)f（x）的最小正周期，求出函數(shù)的最小值，即可判斷函數(shù)f（x）的圖象與x軸是否有交點．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=[sin（

π

4

+x）sin（

π

4

-x）]•sin（

π

3

+x）
=

2

sinx（

3

2

cosx+

1

2

sinx）
=

6

2

sinxcosx+

2

2

sin2x
=

2

2

sin(2x-

π

6

)+

2

4

所以函數(shù)f（x）的最大值，

2

2

+

2

4

=

3 2

4

，
取得最大值時x值的集合：{x|x=kπ+

π

3

，k∈Z}
（2）由（1）可知函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，
函數(shù)的最小值為：-

2

2

+

2

4

=-

2

4

＜0，
所以函數(shù)f（x）的圖象與x軸有交點．

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡求值，函數(shù)的周期的求法，以及函數(shù)的最小值的應(yīng)用，考查計算能力．