Question

已知雙曲線

x2

9

-

y2

16

=1，  △ABC的頂點(diǎn)B、C與雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)重合，點(diǎn)A在雙曲線上運(yùn)動(dòng)，試求△ABC的重心G的軌跡方程．

Answer 1

分析：根據(jù)三角形的重心坐標(biāo)公式，確定動(dòng)點(diǎn)A，G坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用點(diǎn)A在雙曲線上運(yùn)動(dòng)，即可求得△ABC的重心G的軌跡方程．

解答：解：設(shè)A（x₀，y₀），重心G（x，y），依題意B（-5，0），C（5，0）．
又點(diǎn)A（x₀，y₀）在雙曲線

x2

9

-

y2

16

=1上，則

x02

9

-

y02

16

=1…(*)，…（4分）
∵G是△ABC的重心，∴x=

-5+5+x0

3

，y=

y0

3

，…（6分）
即x₀=3x，y₀=3y，代入（*）式，有

(3x)2

9

-

(3y)2

16

=1，又y₀≠0，則y≠0．
故所求的重心G的軌跡方程為：x2-

9y2

16

=1  (y≠0)．…（13分）

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查軌跡方程的求解，考查代入法求軌跡方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形的重心坐標(biāo)公式，確定動(dòng)點(diǎn)A，G坐標(biāo)之間的關(guān)系．