Question

已知函數(shù)f(x)=2ax³-3ax²+1，(a∈R)，
(Ⅰ)當a=1時，求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(Ⅱ)若任意給定的x₀∈[0，2]，在[0，2]上總存在兩個不同的x_i(i=1，2)，使得f(x_i)=g(x₀)成立，求a的取值范圍。

Answer 1

解：(Ⅰ)f′(x)=6x²-6x=6x(x-1)，
由f′(x)＞0，得x＞1或x＜0；由f′(x)＜0，得0＜x＜1；
故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞，0]和[1，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是[0，1]。
(Ⅱ)f′(x)=6ax²-6ax=6ax(x-1)，
①當a=0時，顯然不可能；
②當a＞0時，

又因為當a＞0時，在[0，2]上是減函數(shù)，
對任意x∈[0，2]，，不合題意；
③當a＜0時，

又因為當a＜0時，在[0，2]上是增函數(shù)，
對任意x∈[0，2]，，
由題意可得，解得a＜-1；
綜上，a的取值范圍為(-∞，-1)。