Question

設f（x）是R上的奇函數，且當x＞0時，f（x）=lg（x²-ax+10），a∈R．
（1）若f（1）=1，求f（x）的解析式；
（2）若a=0，不等式f（k•2^x）+f（4^x+k+1）＞0恒成立，求實數k的取值范圍；
（3）若f（x）的值域為R，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,對數函數圖象與性質的綜合應用

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由f（1）=1，求得a=1．求得當x＜0時f（x）的解析式，再由f（0）=0，可得f（x）在R上的解析式．
（2）若a=0，則由f（x）為奇函數可得它在R上單調遞增，不等式等價于k•2^x+4^x+k+1＞0．令t=2^x（t＞0），可得t²+kt+k+1＞0在（0，+∞）恒成立，分離參數k，利用基本不等式求得k的范圍．
（3）根據f（x）的值域為R，結合對數函數的性質即可得到結論．

解答： 解：（1）∵f（1）=1，∴f（1）=lg（11-a）=1，∴11-a=10，即a=1．
此時，當x＜0時，-x＞0，f（x）=-f（-x）=-lg（x²+x+10），又f（0）=0，
故f(x)=

-lg(x2+x+10)，x＜0 0，x=0 lg(x2-x+10)，x＞0

．
（2）若a=0，則由f（x）為奇函數可得它在R上單調遞增，
故f（k•2^x）+f（4^x+k+1）＞0，等價于k•2^x+4^x+k+1＞0．
令t=2^x（t＞0），于是，t²+kt+k+1＞0在（0，+∞）恒成立，
即k＞-

t2+1

t+1

=-

(t+1)2-2(t+1)+2

t+1

=-[(t+1)+

2

t+1

]-2
∵-[（t+1）+

2

t+1

]-2的最大值為2-2

2

，
∴k＞2-2

2

．
（3）要使f（x）有意義，首先需滿足x²-ax+10＞0在（0，+∞）上恒成立，
即a＜x+

10

x

．
由基本不等式求得x+

10

x

≥2

x• 10 x

=2

10

，當且僅當x=

10

x

時，即x=

10

取等號，
∴a＜2

10

．
其次，要使f（x）的值域為R，需要x²-ax+10=1能取遍所有的正數，
故x²-ax+10=1在（0，+∞）上有解，
由a=x+

9

x

≥6，當且僅當x=3時，等號成立．
綜上可得6≤a＜2

10

．

點評：本題主要考查對數函數的圖象和性質綜合應用，二次函數的性質，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．