Question

19．如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠ABC=60°，OA⊥面ABCD，OA=4，E點(diǎn)為OA的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，
（1）求證：直線EF∥面OCD
（2）求證：面AEF⊥面OBC
（3）求四棱錐O-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （1）取AD的中點(diǎn)G，連結(jié)EG、FG，推導(dǎo)出平面EFG∥平面OCD，由此能證明直線EF∥面OCD．
（2）推導(dǎo)出AF⊥BC，BC⊥OA，從而BC⊥面AEF，由此能證明面AEF⊥面OBC．
（3）四棱錐O-ABCD的體積V=$\frac{1}{3}×OA×{S}_{菱形ABCD}$，由此能求出結(jié)果．

解答 證明：（1）取AD的中點(diǎn)G，連結(jié)EG、FG，
∵E點(diǎn)為OA的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，
∴FG∥CD，EG∥OD，
∵FG∩EG=G，CD∩OD=D，F(xiàn)G、EG?平面EFG，CD、OD?平面OCD，
∴平面EFG∥平面OCD，
∵EF?平面EFG，∴直線EF∥面OCD．
（2）∵底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠ABC=60°，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，
∴AF⊥BC，
∵OA⊥面ABCD，BC?平面ABCD，∴BC⊥OA，
∵AF∩OA=A，∴BC⊥面AEF，
∵BC?面OBC，∴面AEF⊥面OBC．
解：（3）∵底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠ABC=60°，OA⊥面ABCD，OA=4，
∴S_菱形ABCD=2×（$\frac{1}{2}×2×2×sin60°$）=2$\sqrt{3}$，
故四棱錐O-ABCD的體積V=$\frac{1}{3}×OA×{S}_{菱形ABCD}$=$\frac{1}{3}×4×2\sqrt{3}$=$\frac{{8\sqrt{3}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行、面面垂直的證明，考查幾何體的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、空間想象能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．