將奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(即(0,0))對稱這一性質(zhì)進行拓廣,有下面的結(jié)論:
①函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)+f(a-x)=2b的充要條件是y=f(x)的圖象關(guān)于點(a,b)成中心對稱.
②函數(shù)y=f(x)滿足F(x)=f(x+a)-f(a)為奇函數(shù)的充要條件是y=f(x)的圖象關(guān)于點(a,f(a))成中心對稱(注:若a不屬于x的定義域時,則f(a)不存在).
利用上述結(jié)論完成下列各題:
(1)寫出函數(shù)f(x)=tanx的圖象的對稱中心的坐標,并加以證明.
(2)已知m(m≠-1)為實數(shù),試問函數(shù)的圖象是否關(guān)于某一點成中心對稱?若是,求出對稱中心的坐標并說明理由;若不是,請說明理由.
(3)若函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱,求t的值.
【答案】分析:(1)根據(jù)正切函數(shù)圖象觀察出圖象的對稱中心的坐標為再利用①進行證明.
(2)將函數(shù)化成,據(jù)其簡圖可知對稱中心的坐標為(1,1).再利用②進行證明.
(3)若函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱,則)由結(jié)論②為奇函數(shù),從而轉(zhuǎn)化為,求t的取值即可.
解答:解:(1)函數(shù)f(x)=tanx的圖象的對稱中心的坐標為(k∈N*).    …(2分)
當k=2n(n∈N*)時,
當k=2n+1(n∈N*)時,,得證.                   …(6分)
(2)由,得f(x)的圖象的對稱中心的坐標為(1,1).…(9分),由結(jié)論①得,對實數(shù)m(m≠-1),函數(shù)的圖象關(guān)于點(1,1)成中心對稱.   …(12分)
(3)由結(jié)論②為奇函數(shù),…(14分)
其中g(shù)(x)=x為奇函數(shù),故為偶函數(shù)
于是,由h(x)=h(-x)可得,…(16分)
因此,,解得為所求.                                 …(18分)
點評:本題考查閱讀理解、分析解決問題、轉(zhuǎn)化、計算的能力.用到的知識有三角函數(shù)圖象的對稱中心,分式函數(shù)的對稱中心,函數(shù)的奇偶性判斷.三角函數(shù)誘導公式.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

將下列命題改寫為“若p,則q”的形式.并判斷真假.
(1)偶數(shù)能被2整除;
(2)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱;
(3)在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角不相等.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2009•盧灣區(qū)一模)將奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(即(0,0))對稱這一性質(zhì)進行拓廣,有下面的結(jié)論:
①函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)+f(a-x)=2b的充要條件是y=f(x)的圖象關(guān)于點(a,b)成中心對稱.
②函數(shù)y=f(x)滿足F(x)=f(x+a)-f(a)為奇函數(shù)的充要條件是y=f(x)的圖象關(guān)于點(a,f(a))成中心對稱(注:若a不屬于x的定義域時,則f(a)不存在).
利用上述結(jié)論完成下列各題:
(1)寫出函數(shù)f(x)=tanx的圖象的對稱中心的坐標,并加以證明.
(2)已知m(m≠-1)為實數(shù),試問函數(shù)f(x)=
x+m
x-1
的圖象是否關(guān)于某一點成中心對稱?若是,求出對稱中心的坐標并說明理由;若不是,請說明理由.
(3)若函數(shù)f(x)=(x-
2
3
)(|x+t|+|x-3|)-4
的圖象關(guān)于點(
2
3
,f(
2
3
))
成中心對稱,求t的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

將奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(即(0,0))對稱這一性質(zhì)進行拓廣,有下面的結(jié)論:
①函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)+f(a-x)=2b的充要條件是y=f(x)的圖象關(guān)于點(a,b)成中心對稱.
②函數(shù)y=f(x)滿足F(x)=f(x+a)-f(a)為奇函數(shù)的充要條件是y=f(x)的圖象關(guān)于點(a,f(a))成中心對稱(注:若a不屬于x的定義域時,則f(a)不存在).
利用上述結(jié)論完成下列各題:
(1)寫出函數(shù)f(x)=tanx的圖象的對稱中心的坐標,并加以證明.
(2)已知m(m≠-1)為實數(shù),試問函數(shù)數(shù)學公式的圖象是否關(guān)于某一點成中心對稱?若是,求出對稱中心的坐標并說明理由;若不是,請說明理由.
(3)若函數(shù)數(shù)學公式的圖象關(guān)于點數(shù)學公式成中心對稱,求t的值.

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科目:高中數(shù)學 來源:盧灣區(qū)一模 題型:解答題

將奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(即(0,0))對稱這一性質(zhì)進行拓廣,有下面的結(jié)論:
①函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)+f(a-x)=2b的充要條件是y=f(x)的圖象關(guān)于點(a,b)成中心對稱.
②函數(shù)y=f(x)滿足F(x)=f(x+a)-f(a)為奇函數(shù)的充要條件是y=f(x)的圖象關(guān)于點(a,f(a))成中心對稱(注:若a不屬于x的定義域時,則f(a)不存在).
利用上述結(jié)論完成下列各題:
(1)寫出函數(shù)f(x)=tanx的圖象的對稱中心的坐標,并加以證明.
(2)已知m(m≠-1)為實數(shù),試問函數(shù)f(x)=
x+m
x-1
的圖象是否關(guān)于某一點成中心對稱?若是,求出對稱中心的坐標并說明理由;若不是,請說明理由.
(3)若函數(shù)f(x)=(x-
2
3
)(|x+t|+|x-3|)-4
的圖象關(guān)于點(
2
3
,f(
2
3
))
成中心對稱,求t的值.

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