Question

某食品公司為了解某種新品種食品的市場需求，進(jìn)行了20天的測試，人為地調(diào)控每天產(chǎn)品的單價P（元/件）：前10天每天單價呈直線下降趨勢（第10天免費贈送品嘗），后10天呈直線上升，其中4天的單價記錄如表：
而這20天相應(yīng)的銷售量Q（百件/天）與x對應(yīng)的點（x，Q）在如圖所示的半圓上．
（1）寫出每天銷售收入y（元）與時間x（天）的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f（x）；
（2）在這20天中哪一天銷售收入最高？為使每天銷售收入最高，按此次測試結(jié)果應(yīng)將單價P定為多少元為好？（結(jié)果精確到1元）

Answer 1

分析：①前10天每天單價呈直線下降趨勢后10天呈直線上升，所以單價是天數(shù)的分段函數(shù)且兩段都是直線，利用兩點式寫出函數(shù)
②銷售收入等于單價乘以銷售量，將收入表示成時間的函數(shù)，利用基本不等式求銷售收入最值

解答：解：（1）p=

10-x，x∈[1，10] x-10，x∈[11，20]

，x∉N*，Q=

100-(x-10)2

，x∈[1，20]，x∈N^*，
∴y=100Qp=100

(x-10)2[100-(x-10)2]

，x∈[1，20]，x∈N*．

（2）∵(x-10)2[100-(x-10)2]≤(

(x-10)2+100-(x-10)2

2

)2=2500，
∴當(dāng)且僅當(dāng)（x-10）²=100-（x-10）²，
即x=10±5

2

時，y有最大值．
∵x∈N^*，
∴取x=3或17時，ymax=700

51

≈4999（元），
此時，p=7（元）．
答：第3天或第17天銷售收入最高，此時應(yīng)將單價P定為7元為好．

點評：本題考查將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，利用基本不等式求最值時，注意等號的取的時自變量是否在定義域內(nèi)．