Question

拋物線y²=2px的焦點弦AB的中點為M，A、B、M在準線上的射影依次為C、D、N．
求證：
（1）A、O、D三點共線，B、O、C三點共線；
（2）FN⊥AB（F為拋物線的焦點）．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、中點M（x，y），將焦點弦AB的直線的方程代入拋物線的方程，消去x得到關于y的一元二次方程，再結合直線斜率的關系即可證得A、O、D三點共線．同理可證B、O、C三點共線，從而解決問題．
（2）先利用斜率公式得出k_FN=，再分類討論：當x₁=x₂時，顯然FN⊥AB；當x₁≠x₂時，證出k_FN•k_AB=-1．從而知FN⊥AB成立．
解答：證明：（1）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、中點M（x，y），焦點F的坐標是（，0）．
由得ky²-2py-kp²=0．
∴A、B、M在準線上的射影依次為C、D、N，
∴C（-，y₁）、D（-，y₂）、N（-，y）．
∵，
由ky²-2py-kp²=0
得y₁y₂==-p²，
∴k_OA=k_OD，∴A、O、D三點共線．同理可證B、O、C三點共線．----（6分）
（2）k_FN=，當x₁=x₂時，顯然FN⊥AB；
當x₁≠x₂時，k_AB==，
∴k_FN•k_AB=-1．
∴FN⊥AB．綜上所述知FN⊥AB成立．----（12分）
點評：本題給出拋物線過焦點的弦在準線上的射影，求證三點共線及線線垂直，著重考查了用解析幾何理解拋物線的定義的知識點，屬于基礎題．